Integral resuelta paso a paso

Integral de sen⁴x

Resolvemos ∫ sen⁴x dx —la integral de sen⁴x— paso a paso con identidades trigonométricas. Abajo tienes el procedimiento completo, el resultado.

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✎ Solución paso a paso

1. 1

   Exponente par: baja el ángulo. Escribe sen⁴x como cuadrado de sen²x.

   $${\mathrm{sen}}^{4}x={\left(\frac{1-\cos 2x}{2}\right)}^2$$
2. 2

   Desarrolla el cuadrado.

   $$=\frac{1-2\cos 2x+{\cos }^{2}2x}{4}$$
3. 3

   Ha vuelto a salir un cuadrado (cos²2x, par): hay que bajar el ángulo otra vez, ahora con argumento 2x.

   $${\cos }^{2}2x=\frac{1+\cos 4x}{2}$$
4. 4

   Sustituye y agrupa.

   $$\frac{3}{8}-\frac{\cos 2x}{2}+\frac{\cos 4x}{8}$$
5. 5

   Integra los tres términos, dividiendo por el ángulo cada vez.

   $$\frac{3x}{8}-\frac{1}{2}\cdot \frac{\mathrm{sen}2x}{2}+\frac{1}{8}\cdot \frac{\mathrm{sen}4x}{4}$$

Por tanto, la integral de sen⁴x es 3x/8 − (sen 2x)/4 + (sen 4x)/32 + C. Puedes comprobarlo derivando el resultado: su derivada vuelve a dar sen⁴x.

Resuelto y explicado por Daniel · sobre el autor

◆ Sobre las integrales trigonométricas

¿Por qué este método? Con exponente 4 (par) se baja el ángulo, pero al desarrollar aparece cos²2x, que también es par: hay que bajar el ángulo una segunda vez. La regla: exponente 4 → dos bajadas; 6 → tres.

Error típico. Parar tras la primera bajada y dejar cos²2x sin tratar. Cada cuadrado par que reaparezca hay que volver a bajarlo.

Teoría: Trigonométricas →

Más integrales de trigonométricas

$$\int {\cos }^{4}xdx$$

$$\int {\mathrm{sen}}^{2}x{\cos }^{2}xdx$$

$$\int \frac{{\cos }^{3}x}{\sqrt{\mathrm{sen}x}}dx$$

$$\int {\mathrm{sen}}^{3}x{\cos }^{3}xdx$$

$$\int {\mathrm{sen}}^{2}x{\cos }^{3}xdx$$

$$\int {\cos }^{5}xdx$$

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