Integral resuelta paso a paso

Integral de cos x/(sen²x − sen x − 2)

Resolvemos ∫ cos x/(sen²x − sen x − 2) dx —la integral de cos x/(sen²x − sen x − 2)— paso a paso con identidades trigonométricas. Abajo tienes el procedimiento completo, el resultado.

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✎ Solución paso a paso

1. 1

   Mira el numerador: hay un coseno suelto, que es el du del seno. Cambio directo.

   $$u=\mathrm{sen}x,du=\cos xdx$$
2. 2

   La integral se vuelve racional.

   $$\int \frac{du}{u^2-u-2}$$
3. 3

   Factoriza el denominador.

   $$u^2-u-2=(u-2)(u+1)$$
4. 4

   Fracciones parciales tapando.

   $$A=\frac{1}{3},B=-\frac{1}{3}$$
5. 5

   Integra.

   $$\frac{1}{3}\ln |u-2|-\frac{1}{3}\ln |u+1|$$
6. 6

   Deshaz el cambio.

   $$\frac{1}{3}\ln \left|\frac{\mathrm{sen}x-2}{\mathrm{sen}x+1}\right|$$

Por tanto, la integral de cos x/(sen²x − sen x − 2) es 1/3 ln|(sen x − 2)/(sen x + 1)|+C. Puedes comprobarlo derivando el resultado: su derivada vuelve a dar cos x/(sen²x − sen x − 2).

Resuelto y explicado por Daniel · sobre el autor

◆ Sobre las integrales trigonométricas

¿Por qué este método? El coseno suelto del numerador es el du de u=sen x: el cambio convierte la integral en una racional, que se resuelve por fracciones parciales. Es el puente entre lo trigonométrico y M4.

Error típico. No ver el coseno como el du. Con él, el cambio u=sen x transforma todo en un cociente de polinomios sencillo.

Teoría: Trigonométricas →

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$$\int \frac{dx}{\cos x-\mathrm{sen}x}$$

$$\int \frac{dx}{5+4\cos x}$$

$$\int \frac{dx}{3\mathrm{sen}x-4\cos x+5}$$

$$\int \frac{1-\mathrm{sen}x}{1+\cos x}dx$$

$$\int \frac{dx}{\mathrm{sen}x+\cos x}$$

$$\int \frac{dx}{2+\cos x}$$

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