Integral resuelta paso a paso

Integral de 1/(1 + sen²x)

Resolvemos ∫ 1/(1 + sen²x) dx —la integral de 1/(1 + sen²x)— paso a paso con identidades trigonométricas. Abajo tienes el procedimiento completo, el resultado.

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✎ Solución paso a paso

1. 1

   Solo hay potencias pares: divide por cos²x.

   $$\frac{{\sec }^{2}x}{{\sec }^{2}x+{\mathrm{tg}}^{2}x}$$
2. 2

   Convierte el sec²x del denominador con 1+tg²x.

   $$\text{denominador}=1+2{\mathrm{tg}}^{2}x$$
3. 3

   Cambio u=tg x.

   $$\int \frac{du}{1+2u^2}$$
4. 4

   Saca el 2 factor común para dejar forma de arcotangente.

   $$=\frac{1}{2}\int \frac{du}{\frac{1}{2}+u^2}$$
5. 5

   Arcotangente con a=1/√2.

   $$=\frac{1}{\sqrt{2}}\arctan (\sqrt{2}u)$$

Por tanto, la integral de 1/(1 + sen²x) es 1/√2 arctg(√2 tg x) + C. Puedes comprobarlo derivando el resultado: su derivada vuelve a dar 1/(1 + sen²x).

Resuelto y explicado por Daniel · sobre el autor

◆ Sobre las integrales trigonométricas

¿Por qué este método? Denominador con solo potencias pares: se divide por cos²x, aparece sec²x (el du de tg x) y queda un arcotangente tras ajustar el coeficiente del cuadrado.

Error típico. No convertir el sec²x del denominador a 1+tg²x: sin ese paso no queda todo en función de u=tg x.

Teoría: Trigonométricas →

Más integrales de trigonométricas

$$\int \frac{dx}{{\mathrm{sen}}^{2}x+4{\cos }^{2}x}$$

$$\int \frac{dx}{1-\cos x}$$

$$\int \frac{dx}{\mathrm{sen}x}$$

$$\int \frac{dx}{1+\mathrm{sen}x}$$

$$\int \mathrm{sen}(5x)\cos (3x)dx$$

$$\int \mathrm{sen}(mx)\cos (nx)dx$$

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