Integral resuelta paso a paso

Integral de 1/(1 − cos x)

Resolvemos ∫ 1/(1 − cos x) dx —la integral de 1/(1 − cos x)— paso a paso con identidades trigonométricas. Abajo tienes el procedimiento completo, el resultado.

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✎ Solución paso a paso

1. 1

   Usa la fórmula del ángulo mitad.

   $$1-\cos x=2{\mathrm{sen}}^2\frac{x}{2}$$
2. 2

   Sustituye.

   $$\int \frac{dx}{2{\mathrm{sen}}^2\frac{x}{2}}=\frac{1}{2}\int {\csc }^2\frac{x}{2}dx$$
3. 3

   Integra. El interior es x/2, así que hay que multiplicar por 2.

   $$\frac{1}{2}\cdot (-2)\cot \frac{x}{2}$$

Por tanto, la integral de 1/(1 − cos x) es - cotx/2 + C. Puedes comprobarlo derivando el resultado: su derivada vuelve a dar 1/(1 − cos x).

Resuelto y explicado por Daniel · sobre el autor

◆ Sobre las integrales trigonométricas

¿Por qué este método? La identidad del ángulo mitad 1−cos x=2sen²(x/2) convierte el denominador en un cuadrado y la integral en la de csc²(x/2), inmediata.

Error típico. Olvidar el factor 2 del interior x/2 al integrar csc²(x/2): la primitiva es −2cot(x/2), no −cot(x/2).

Teoría: Trigonométricas →

Más integrales de trigonométricas

$$\int \frac{dx}{1+{\mathrm{sen}}^{2}x}$$

$$\int \frac{dx}{{\mathrm{sen}}^{2}x+4{\cos }^{2}x}$$

$$\int \frac{dx}{\mathrm{sen}x}$$

$$\int \frac{dx}{1+\mathrm{sen}x}$$

$$\int \mathrm{sen}(5x)\cos (3x)dx$$

$$\int \mathrm{sen}(mx)\cos (nx)dx$$

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