Integral resuelta paso a paso

Integral de 1/(cos x − sen x)

Resolvemos ∫ 1/(cos x − sen x) dx —la integral de 1/(cos x − sen x)— paso a paso con identidades trigonométricas. Abajo tienes el procedimiento completo, el resultado.

---

✎ Solución paso a paso

1. 1

   Junta los dos en uno con el ángulo auxiliar.

   $$\cos x-\mathrm{sen}x=\sqrt{2}\cos \left(x+\frac{\pi }{4}\right)$$
2. 2

   La integral queda como una secante.

   $$\frac{1}{\sqrt{2}}\int \sec \left(x+\frac{\pi }{4}\right)dx$$
3. 3

   Aplica la primitiva de la secante.

   $$\int \sec udu=\ln |\sec u+\mathrm{tg}u|$$

Por tanto, la integral de 1/(cos x − sen x) es 1/√2 ln| sec(x + π/4) + tg(x + π/4)|+C. Puedes comprobarlo derivando el resultado: su derivada vuelve a dar 1/(cos x − sen x).

Resuelto y explicado por Daniel · sobre el autor

◆ Sobre las integrales trigonométricas

¿Por qué este método? El ángulo auxiliar junta cos x−sen x en un único √2·cos(x+π/4), y la integral se reduce a la de la secante ya conocida.

Error típico. Ir a Weierstrass. Reconocer cos x−sen x=√2 cos(x+π/4) deja la integral de la secante directa.

Teoría: Trigonométricas →

Más integrales de trigonométricas

$$\int \frac{\cos xdx}{{\mathrm{sen}}^{2}x-\mathrm{sen}x-2}$$

$$\int \frac{dx}{5+4\cos x}$$

$$\int \frac{dx}{3\mathrm{sen}x-4\cos x+5}$$

$$\int \frac{1-\mathrm{sen}x}{1+\cos x}dx$$

$$\int \frac{dx}{\mathrm{sen}x+\cos x}$$

$$\int \frac{dx}{2+\cos x}$$

← Volver a trigonométricas