Integral resuelta paso a paso

Integral de 1/(5 + 4cos x)

Resolvemos ∫ 1/(5 + 4cos x) dx —la integral de 1/(5 + 4cos x)— paso a paso con identidades trigonométricas. Abajo tienes el procedimiento completo, el resultado.

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✎ Solución paso a paso

1. 1

   Cambio de Weierstrass t=tg(x/2).

   $$t=\mathrm{tg}\frac{x}{2}$$
2. 2

   Sustituye el coseno y agrupa.

   $$5+4\cdot \frac{1-t^2}{1+t^2}=\frac{9+t^2}{1+t^2}$$
3. 3

   Monta la integral (con el dx se cancela el 1+t²).

   $$\int \frac{2dt}{9+t^2}$$
4. 4

   Arcotangente con a=3.

   $$=\frac{2}{3}\arctan \frac{t}{3}$$
5. 5

   Deshaz el cambio.

   $$\frac{2}{3}\arctan \left(\frac{\mathrm{tg}(x/2)}{3}\right)$$

Por tanto, la integral de 1/(5 + 4cos x) es 2/3 arctg((tg(x/2))/3) + C. Puedes comprobarlo derivando el resultado: su derivada vuelve a dar 1/(5 + 4cos x).

Resuelto y explicado por Daniel · sobre el autor

◆ Sobre las integrales trigonométricas

¿Por qué este método? Denominador con constante + coseno: Weierstrass lo vuelve (9+t²)/(1+t²), y tras cancelar el (1+t²) del dx queda un arcotangente con a=3.

Error típico. Equivocar el valor de a: el denominador queda 9+t², así que a=3 (√9), no 9.

Teoría: Trigonométricas →

Más integrales de trigonométricas

$$\int \frac{dx}{3\mathrm{sen}x-4\cos x+5}$$

$$\int \frac{1-\mathrm{sen}x}{1+\cos x}dx$$

$$\int \frac{dx}{\mathrm{sen}x+\cos x}$$

$$\int \frac{\cos xdx}{{\mathrm{sen}}^{2}x-\mathrm{sen}x-2}$$

$$\int \frac{dx}{2+\cos x}$$

$$\int \frac{dx}{\cos x-\mathrm{sen}x}$$

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