Integral resuelta paso a paso

Integral de 1/(tg x + cotg x)

Resolvemos ∫ 1/(tg x + cotg x) dx —la integral de 1/(tg x + cotg x)— paso a paso con identidades trigonométricas. Abajo tienes el procedimiento completo, el resultado.

---

✎ Solución paso a paso

1. 1

   No integres nada todavía: simplifica el denominador.

   $$\mathrm{tg}x+\cot x=\frac{\mathrm{sen}x}{\cos x}+\frac{\cos x}{\mathrm{sen}x}$$
2. 2

   Común denominador y Pitágoras.

   $$=\frac{{\mathrm{sen}}^{2}x+{\cos }^{2}x}{\mathrm{sen}x\cos x}=\frac{1}{\mathrm{sen}x\cos x}$$
3. 3

   Al invertir, el integrando se vuelve trivial.

   $$\frac{1}{\mathrm{tg}x+\cot x}=\mathrm{sen}x\cos x$$
4. 4

   Usa el ángulo doble.

   $$\mathrm{sen}x\cos x=\frac{\mathrm{sen}2x}{2}$$
5. 5

   Integra.

   $$\frac{1}{2}\left(-\frac{\cos 2x}{2}\right)$$

Por tanto, la integral de 1/(tg x + cotg x) es -(cos 2x)/4 + C. Puedes comprobarlo derivando el resultado: su derivada vuelve a dar 1/(tg x + cotg x).

Resuelto y explicado por Daniel · sobre el autor

◆ Sobre las integrales trigonométricas

¿Por qué este método? Parece de las difíciles y se resuelve sin ninguna técnica de integración: simplificas tg x+cot x=1/(sen x cos x), inviertes y queda sen x cos x=sen 2x/2. Mira antes de calcular.

Error típico. Lanzarse a Weierstrass o a integrar el cociente tal cual. Simplificar el denominador primero lo convierte en algo inmediato.

Teoría: Trigonométricas →

Más integrales de trigonométricas

$$\int \frac{{\mathrm{sen}}^{3}x}{{\cos }^{4}x}dx$$

$$\int \frac{1+\mathrm{tg}x}{1-\mathrm{tg}x}dx$$

$$\int \mathrm{sen}(3x)\cos (5x)dx$$

$$\int \frac{dx}{{\mathrm{sen}}^{4}x}$$

$$\int \mathrm{sen}(2x)\mathrm{sen}(7x)dx$$

$$\int \cos (4x)\cos (x)dx$$

← Volver a trigonométricas