Integral resuelta paso a paso

Integral de (1 + tg x)/(1 − tg x)

Resolvemos ∫ (1 + tg x)/(1 − tg x) dx —la integral de (1 + tg x)/(1 − tg x)— paso a paso con identidades trigonométricas. Abajo tienes el procedimiento completo, el resultado.

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✎ Solución paso a paso

1. 1

   Reconoce la fórmula de la tangente de una suma.

   $$\mathrm{tg}(A+B)=\frac{\mathrm{tg}A+\mathrm{tg}B}{1-\mathrm{tg}A\mathrm{tg}B}$$
2. 2

   Con B=π/4 (tg B=1), el integrando es exactamente esa fórmula.

   $$\mathrm{tg}\left(x+\frac{\pi }{4}\right)=\frac{\mathrm{tg}x+1}{1-\mathrm{tg}x}$$
3. 3

   La integral se convierte en una tangente simple.

   $$\int \mathrm{tg}\left(x+\frac{\pi }{4}\right)dx$$
4. 4

   Aplica ∫tg u du=−ln|cos u| con u=x+π/4 (derivada del interior 1, no hay que compensar).

   $$-\ln \left|\cos \left(x+\frac{\pi }{4}\right)\right|$$

Por tanto, la integral de (1 + tg x)/(1 − tg x) es - ln| cos(x + π/4)|+C. Puedes comprobarlo derivando el resultado: su derivada vuelve a dar (1 + tg x)/(1 − tg x).

Resuelto y explicado por Daniel · sobre el autor

◆ Sobre las integrales trigonométricas

¿Por qué este método? El cociente (1+tg x)/(1−tg x) es exactamente tg(x+π/4). Reconocer la identidad convierte una integral fea en la tangente de un ángulo desplazado.

Error típico. Intentar Weierstrass o dividir el cociente. La clave es identificar la fórmula de la tangente de una suma con B=π/4.

Teoría: Trigonométricas →

Más integrales de trigonométricas

$$\int \frac{dx}{\mathrm{tg}x+\cot x}$$

$$\int \mathrm{sen}(3x)\cos (5x)dx$$

$$\int \frac{{\mathrm{sen}}^{3}x}{{\cos }^{4}x}dx$$

$$\int \mathrm{sen}(2x)\mathrm{sen}(7x)dx$$

$$\int \cos (4x)\cos (x)dx$$

$$\int \frac{dx}{{\mathrm{sen}}^{4}x}$$

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