Integral resuelta paso a paso

Integral de 1/sen x

Resolvemos ∫ 1/sen x dx —la integral de 1/sen x— paso a paso con identidades trigonométricas. Abajo tienes el procedimiento completo, el resultado.

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✎ Solución paso a paso

1. 1

   Reescribe como cosecante.

   $$\frac{1}{\mathrm{sen}x}=\csc x$$
2. 2

   El truco: multiplica y divide por (csc x − cot x).

   $$\int \csc x\cdot \frac{\csc x-\cot x}{\csc x-\cot x}dx$$
3. 3

   El numerador es la derivada del denominador.

   $$(\csc x-\cot x{)}^{\prime }={\csc }^{2}x-\csc x\cot x$$
4. 4

   Es un f'/f.

   $$=\ln |\csc x-\cot x|$$
5. 5

   Simplifica con el ángulo mitad.

   $$\csc x-\cot x=\frac{1-\cos x}{\mathrm{sen}x}=\mathrm{tg}\frac{x}{2}$$

Por tanto, la integral de 1/sen x es ln| tgx/2|+C. Puedes comprobarlo derivando el resultado: su derivada vuelve a dar 1/sen x.

Resuelto y explicado por Daniel · sobre el autor

◆ Sobre las integrales trigonométricas

¿Por qué este método? El truco de multiplicar por (csc x−cot x) hace que el numerador sea justo la derivada del denominador (un f'/f), y el ángulo mitad simplifica el resultado a ln|tg(x/2)|.

Error típico. Intentar integrar 1/sen x directamente: no es inmediata. El truco del conjugado csc x−cot x es imposible de adivinar pero es la clave.

Teoría: Trigonométricas →

Más integrales de trigonométricas

$$\int \frac{dx}{1+\mathrm{sen}x}$$

$$\int \mathrm{sen}(5x)\cos (3x)dx$$

$$\int \mathrm{sen}(mx)\cos (nx)dx$$

$$\int \frac{dx}{{\mathrm{sen}}^{2}x+4{\cos }^{2}x}$$

$$\int \frac{dx}{1+{\mathrm{sen}}^{2}x}$$

$$\int \cos (4x)\cos (x)dx$$

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