Integral resuelta paso a paso

Integral de 1/(sen²x + 4cos²x)

Resolvemos ∫ 1/(sen²x + 4cos²x) dx —la integral de 1/(sen²x + 4cos²x)— paso a paso con identidades trigonométricas. Abajo tienes el procedimiento completo, el resultado.

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✎ Solución paso a paso

1. 1

   Todo está al cuadrado: dividir por cos²x es mucho mejor que Weierstrass.

   $${\mathrm{sen}}^{2}x+4{\cos }^{2}x$$
2. 2

   Divide arriba y abajo por cos²x.

   $$\frac{1/{\cos }^{2}x}{{\mathrm{tg}}^{2}x+4}=\frac{{\sec }^{2}x}{{\mathrm{tg}}^{2}x+4}$$
3. 3

   El numerador es justo la derivada de la tangente.

   $$u=\mathrm{tg}x,du={\sec }^{2}xdx$$
4. 4

   La integral queda inmediata.

   $$\int \frac{du}{u^2+4}$$
5. 5

   Arcotangente con a=2.

   $$=\frac{1}{2}\arctan \frac{u}{2}$$

Por tanto, la integral de 1/(sen²x + 4cos²x) es 1/2 arctg((tg x)/2) + C. Puedes comprobarlo derivando el resultado: su derivada vuelve a dar 1/(sen²x + 4cos²x).

Resuelto y explicado por Daniel · sobre el autor

◆ Sobre las integrales trigonométricas

¿Por qué este método? Cuando el denominador solo tiene potencias pares de seno y coseno, dividir por cos²x hace aparecer sec²x (el du de tg x) y deja un arcotangente. Weierstrass ahí es matar moscas a cañonazos.

Error típico. Usar Weierstrass en un denominador con solo potencias pares: es innecesariamente largo. Dividir por cos²x es la vía corta.

Teoría: Trigonométricas →

Más integrales de trigonométricas

$$\int \frac{dx}{1+{\mathrm{sen}}^{2}x}$$

$$\int \frac{dx}{1-\cos x}$$

$$\int \frac{dx}{\mathrm{sen}x}$$

$$\int \frac{dx}{1+\mathrm{sen}x}$$

$$\int \mathrm{sen}(5x)\cos (3x)dx$$

$$\int \mathrm{sen}(mx)\cos (nx)dx$$

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