Integral resuelta paso a paso

Integral de 1/(1 + sen x)

Resolvemos ∫ 1/(1 + sen x) dx —la integral de 1/(1 + sen x)— paso a paso con identidades trigonométricas. Abajo tienes el procedimiento completo, el resultado.

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✎ Solución paso a paso

1. 1

   Antes de Weierstrass, prueba el conjugado: multiplica arriba y abajo por 1−sen x.

   $$\frac{1}{1+\mathrm{sen}x}\cdot \frac{1-\mathrm{sen}x}{1-\mathrm{sen}x}=\frac{1-\mathrm{sen}x}{1-{\mathrm{sen}}^{2}x}$$
2. 2

   El denominador se simplifica con Pitágoras.

   $$1-{\mathrm{sen}}^{2}x={\cos }^{2}x$$
3. 3

   Reparte la fracción en dos.

   $$\frac{1-\mathrm{sen}x}{{\cos }^{2}x}={\sec }^{2}x-\frac{\mathrm{sen}x}{{\cos }^{2}x}$$
4. 4

   La primera es inmediata.

   $$\int {\sec }^{2}xdx=\mathrm{tg}x$$
5. 5

   La segunda, cambio u=cos x.

   $$-\int \frac{\mathrm{sen}x}{{\cos }^{2}x}dx=-\frac{1}{\cos x}$$

Por tanto, la integral de 1/(1 + sen x) es tg x − 1/(cos x) + C. Puedes comprobarlo derivando el resultado: su derivada vuelve a dar 1/(1 + sen x).

Resuelto y explicado por Daniel · sobre el autor

◆ Sobre las integrales trigonométricas

¿Por qué este método? El conjugado (multiplicar por 1−sen x) transforma el denominador en cos²x, y la fracción se parte en dos integrales inmediatas. Es mucho más corto que Weierstrass.

Error típico. Ir directo a Weierstrass: funciona, pero son tres veces más pasos. El conjugado es la vía corta.

Teoría: Trigonométricas →

Más integrales de trigonométricas

$$\int \mathrm{sen}(5x)\cos (3x)dx$$

$$\int \frac{dx}{\mathrm{sen}x}$$

$$\int \mathrm{sen}(mx)\cos (nx)dx$$

$$\int \cos (4x)\cos (x)dx$$

$$\int \mathrm{sen}(2x)\mathrm{sen}(7x)dx$$

$$\int \frac{dx}{{\mathrm{sen}}^{2}x+4{\cos }^{2}x}$$

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