Aplicación de la integral, paso a paso

Área encerrada por f(x)=x³ − x y el eje X

Resolvemos área encerrada por f(x)=x³ − x y el eje x paso a paso. Abajo tienes el procedimiento completo, el resultado.

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✎ Solución paso a paso

1. 1

   Halla los cortes con el eje X.

   $$x^3-x=x(x-1)(x+1)=0\Rightarrow x=-1,0,1$$
2. 2

   Estudia el signo: en (−1,0) es positiva; en (0,1) negativa.

   $$(-1,0):+,(0,1):-$$
3. 3

   Como x³−x es impar, las dos áreas son iguales: usa el doble del tramo positivo.

   $$A=2{\int }_0^1|x^3-x|dx=2{\int }_0^1(x-x^3)dx$$
4. 4

   Integra.

   $$2{\left[\frac{x^2}{2}-\frac{x^4}{4}\right]}_0^1=2\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{4}\right)$$

Por tanto, el resultado de área encerrada por f(x)=x³ − x y el eje x es 1/2 u².

Resuelto y explicado por Daniel · sobre el autor

◆ Sobre esta integral

¿Por qué este método? Cuando la curva cruza el eje, el área NO es la integral: hay que partir en los cortes y sumar valores absolutos. Aquí la simetría impar permite calcular solo una mitad y duplicar.

Error típico. Calcular ∫₋₁¹(x³−x)dx=0 y decir que el área es 0. La integral se cancela por simetría, pero el área es 1/2. Área y integral no son lo mismo cuando hay cortes.

Más integrales de aplicaciones

$$A=\int |x^3-6x^2+8x|dx$$

$$A={\int }_{-1}^0(x^3-x)+{\int }_0^1(x-x^3)dx$$

$$A={\int }_0^{\pi /4}(\cos x-\mathrm{sen}x)+{\int }_{\pi /4}^{\pi }(\mathrm{sen}x-\cos x)dx$$

$$A={\int }_{-1}^2\left[(y+2)-y^2\right]dy$$

$$A=2{\int }_0^2(4x-x^3)dx$$

$$V=\pi {\int }_{-r}^r(r^2-x^2)dx$$

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