Aplicación de la integral, paso a paso

Volumen de la esfera por integración

Resolvemos volumen de la esfera por integración paso a paso. Abajo tienes el procedimiento completo, el resultado.

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✎ Solución paso a paso

1. 1

   La semicircunferencia superior de radio r es y=√(r²−x²). Al girarla se genera la esfera.

   $$y=\sqrt{r^2-x^2}$$
2. 2

   Eleva al cuadrado.

   $$y^2=r^2-x^2$$
3. 3

   Plantea la integral de −r a r.

   $$V=\pi {\int }_{-r}^r(r^2-x^2)dx$$
4. 4

   El integrando es par: usa la simetría.

   $$=2\pi {\int }_0^r(r^2-x^2)dx$$
5. 5

   Integra tratando r como constante.

   $$2\pi {\left[r^{2}x-\frac{x^3}{3}\right]}_0^r=2\pi \left(r^3-\frac{r^3}{3}\right)$$
6. 6

   Simplifica.

   $$2\pi \cdot \frac{2r^3}{3}$$

Por tanto, el resultado de volumen de la esfera por integración es 4/3π r³.

Resuelto y explicado por Daniel · sobre el autor

◆ Sobre esta integral

¿Por qué este método? La fórmula del volumen de la esfera sale de girar la semicircunferencia y aplicar discos. Es la demostración de la fórmula que todo el mundo memoriza.

Error típico. Tratar r como variable al integrar. r es el radio (constante); la variable es x.

Más integrales de aplicaciones

$$V=\pi \frac{r^2}{h^2}{\int }_0^h(h-x{)}^{2}dx$$

$$A=2{\int }_0^2(4x-x^3)dx$$

$$V=\pi {\int }_0^1\left[x^2-x^4\right]dx$$

$$A={\int }_{-1}^2\left[(y+2)-y^2\right]dy$$

$$A={\int }_0^{\pi /4}(\cos x-\mathrm{sen}x)+{\int }_{\pi /4}^{\pi }(\mathrm{sen}x-\cos x)dx$$

$$V=2\pi {\int }_0^{2}x\cdot x^{2}dx$$

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