Aplicación de la integral, paso a paso

Área entre x=y² y x=y + 2 (integrando en y)

Resolvemos área entre x=y² y x=y + 2 (integrando en y) paso a paso. Abajo tienes el procedimiento completo, el resultado.

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✎ Solución paso a paso

1. 1

   Están escritas como x en función de y: integrando en y sale de un tirón (en x habría que partir).

   $$x=y^2,x=y+2$$
2. 2

   Cortes, igualando en y.

   $$y^2=y+2\Rightarrow y=-1,2$$
3. 3

   Quién está más a la derecha: en y=0 la recta da 2 y la parábola 0. Manda la recta.

   $$\text{recta a la derecha}$$
4. 4

   Plantea «derecha menos izquierda», integrando en y.

   $$A={\int }_{-1}^2[(y+2)-y^2]dy$$
5. 5

   Integra y evalúa.

   $${\left[\frac{y^2}{2}+2y-\frac{y^3}{3}\right]}_{-1}^2=\frac{10}{3}+\frac{7}{6}$$

Por tanto, el resultado de área entre x=y² y x=y + 2 (integrando en y) es 9/2 u².

Resuelto y explicado por Daniel · sobre el autor

◆ Sobre esta integral

¿Por qué este método? Cuando las curvas vienen como x en función de y, conviene integrar respecto a y: se evita partir y usar raíces. Es «derecha menos izquierda».

Error típico. Empeñarse en integrar en x: habría que partir en dos y manejar ±√. En y sale directo.

Más integrales de aplicaciones

$$A={\int }_0^{\pi /4}(\cos x-\mathrm{sen}x)+{\int }_{\pi /4}^{\pi }(\mathrm{sen}x-\cos x)dx$$

$$A={\int }_{-1}^0(x^3-x)+{\int }_0^1(x-x^3)dx$$

$$A=2{\int }_0^2(4x-x^3)dx$$

$$A=\int |x^3-6x^2+8x|dx$$

$$V=\pi {\int }_{-r}^r(r^2-x^2)dx$$

$$V=\pi \frac{r^2}{h^2}{\int }_0^h(h-x{)}^{2}dx$$

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