Aplicación de la integral, paso a paso

Volumen al girar y=x², x∈[0,2], alrededor del eje Y

Resolvemos volumen al girar y=x², x∈[0,2], alrededor del eje y paso a paso. Abajo tienes el procedimiento completo, el resultado y la explicación en vídeo.

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✎ Solución paso a paso

1. 1

   Al girar alrededor del eje Y conviene el método de capas cilíndricas.

   $$\text{capas}$$
2. 2

   Identifica radio y altura de cada capa: radio x, altura f(x)=x².

   $$r=x,h=x^2$$
3. 3

   Plantea V=2π∫x·f(x)dx.

   $$V=2\pi {\int }_0^{2}x\cdot x^{2}dx=2\pi {\int }_0^2{x}^{3}dx$$
4. 4

   Integra.

   $$2\pi {\left[\frac{x^4}{4}\right]}_0^2=2\pi \cdot 4$$

Por tanto, el resultado de volumen al girar y=x², x∈[0,2], alrededor del eje y es 8π u³.

Resuelto y explicado por Daniel · sobre el autor

◆ Sobre esta integral

¿Por qué este método? El método de capas: cada capa cilíndrica de radio x, altura f(x) y grosor dx, al desenrollarla es un rectángulo de área 2πx·f(x).

Error típico. Usar discos al girar sobre el eje Y sin reescribir en función de y. Las capas evitan ese cambio.

▶ Explicación en vídeo

Te explico esta integral paso a paso en vídeo. Del canal de YouTube DVC Profe.

Ver en YouTube (en el minuto exacto) →

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$$V=2\pi {\int }_0^{\pi }x\mathrm{sen}xdx$$

$$V=2\pi {\int }_0^{1}x(x-x^2)dx$$

$$V=\pi {\int }_0^1\left[x^2-x^4\right]dx$$

$$V=2\pi {\int }_0^{1}x{e}^{-x^2}dx$$

$$V=\pi \frac{r^2}{h^2}{\int }_0^h(h-x{)}^{2}dx$$

$$V=2\pi {\int }_1^{e}x\ln xdx$$

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