Volumen del cono por integración

V = π \frac{r ^{2}}{h ^{2}} \int_{0}^{h} (h - x)^{2} d x

Resolvemos volumen del cono por integración paso a paso. Abajo tienes el procedimiento completo, el resultado y la explicación en vídeo.

✎ Solución paso a paso

1

La recta que genera el cono va de (0,r) a (h,0).

$y = \frac{r}{h} (h - x)$
2

Eleva al cuadrado.

$y^{2} = \frac{r ^{2}}{h ^{2}} (h - x)^{2}$
3

Plantea.

$V = π \frac{r ^{2}}{h ^{2}} \int_{0}^{h} (h - x)^{2} d x$
4

Integra el interior lineal.

$\int_{0}^{h} (h - x)^{2} d x = [- \frac{( h - x ) ^{3}}{3}]_{0}^{h} = \frac{h ^{3}}{3}$
5

Sustituye.

$π \frac{r ^{2}}{h ^{2}} \cdot \frac{h ^{3}}{3}$

Resultado

\frac{1}{3} π r^{2} h

Por tanto, el resultado de volumen del cono por integración es 1/3π r² h.

Resuelto y explicado por Daniel · sobre el autor

¿Por qué este método? Girando la recta generatriz del cono y aplicando discos se obtiene V=⅓πr²h, la fórmula del volumen del cono, demostrada.

Error típico. Equivocar la ecuación de la recta generatriz o el signo al integrar (h−x)².

Te explico esta integral paso a paso en vídeo. Del canal de YouTube DVC Profe.