Aplicación de la integral, paso a paso

Volumen por arandelas de la región entre y=x e y=x²

Resolvemos volumen por arandelas de la región entre y=x e y=x² paso a paso. Abajo tienes el procedimiento completo, el resultado y la explicación en vídeo.

---

✎ Solución paso a paso

1. 1

   La región no toca el eje: cada rodaja tiene un agujero, es una arandela.

   $$\text{arandela}$$
2. 2

   Identifica los dos radios: la recta y=x es el exterior R; la parábola el interior r.

   $$R=x,r=x^2$$
3. 3

   La fórmula resta los CUADRADOS de los radios.

   $$V=\pi {\int }_a^b(R^2-r^2)dx$$
4. 4

   Sustituye con los cortes 0 y 1.

   $$V=\pi {\int }_0^1(x^2-x^4)dx$$
5. 5

   Integra.

   $$\pi {\left[\frac{x^3}{3}-\frac{x^5}{5}\right]}_0^1=\pi \left(\frac{1}{3}-\frac{1}{5}\right)$$

Por tanto, el resultado de volumen por arandelas de la región entre y=x e y=x² es 2π/15 u³.

Resuelto y explicado por Daniel · sobre el autor

◆ Sobre esta integral

¿Por qué este método? Cuando la región girada no toca el eje, cada rodaja es una arandela (disco con agujero): el volumen resta el cuadrado del radio interior al del exterior.

Error típico. Escribir π∫(R−r)²dx. Es el error nº 1 del apartado: R²−r² NO es (R−r)². Se restan los cuadrados, no los radios.

▶ Explicación en vídeo

Te explico esta integral paso a paso en vídeo. Del canal de YouTube DVC Profe.

Ver en YouTube (en el minuto exacto) →

Más integrales de aplicaciones

$$V=\pi \frac{r^2}{h^2}{\int }_0^h(h-x{)}^{2}dx$$

$$V=\pi {\int }_{-r}^r(r^2-x^2)dx$$

$$A=2{\int }_0^2(4x-x^3)dx$$

$$V=2\pi {\int }_0^{2}x\cdot x^{2}dx$$

$$V=2\pi {\int }_0^{\pi }x\mathrm{sen}xdx$$

$$V=2\pi {\int }_0^{1}x(x-x^2)dx$$

← Volver a aplicaciones