Aplicación de la integral, paso a paso

Superficie al girar y=x³ en [0,1]

Resolvemos superficie al girar y=x³ en [0,1] paso a paso. Abajo tienes el procedimiento completo, el resultado.

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✎ Solución paso a paso

1. 1

   Deriva y monta el radicando.

   $$f^{\prime }=3x^2,1+9x^4$$
2. 2

   Plantea S=2π∫x³√(1+9x⁴)dx.

   $$S=2\pi {\int }_0^1{x}^3\sqrt{1+9x^4}dx$$
3. 3

   Cambio u=1+9x⁴.

   $$du=36x^{3}dx$$
4. 4

   Integra.

   $$\frac{2\pi }{36}\cdot \frac{2}{3}{\left[u^{3/2}\right]}_1^{10}=\frac{\pi }{27}(10\sqrt{10}-1)$$

Por tanto, el resultado de superficie al girar y=x³ en [0,1] es π/27(10√10 − 1).

Resuelto y explicado por Daniel · sobre el autor

◆ Sobre esta integral

¿Por qué este método? Superficie de revolución con f=x³: el radicando 1+9x⁴ y la x³ de fuera encajan en un cambio u=1+9x⁴.

Error típico. No ver que x³ es (salvo constante) la derivada de 1+9x⁴, que es lo que permite el cambio.

Más integrales de aplicaciones

$$S=2\pi {\int }_0^h\frac{r}{h}x\sqrt{1+\frac{r^2}{h^2}}dx$$

$$S=2\pi {\int }_1^4\sqrt{x}\sqrt{1+\frac{1}{4x}}dx$$

$$S=2\pi {\int }_{-r}^{r}f(x)\sqrt{1+[f^{\prime }(x){]}^2}dx$$

$$L={\int }_1^2\sqrt{1+[f^{\prime }(x){]}^2}dx$$

$$L={\int }_0^{2\pi }\sqrt{x^{\prime 2}+y^{\prime 2}}dt$$

$$\bar{x}=\frac{{\int }_0^{1}x\cdot x^{2}dx}{{\int }_0^1{x}^{2}dx}$$

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