Integral definida resuelta paso a paso

Límite de una suma de Riemann escrito como integral

Resolvemos límite de una suma de riemann escrito como integral paso a paso. Abajo tienes el procedimiento completo, el resultado.

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✎ Solución paso a paso

1. 1

   El objetivo es reconocer una suma de Riemann escondida: déjala con la forma Σf(x_k)Δx.

   $$\sum f(x_k)\Delta x$$
2. 2

   Divide arriba y abajo por n².

   $$\frac{n}{n^2+k^2}=\frac{1}{n}\cdot \frac{1}{1+(k/n{)}^2}$$
3. 3

   Identifica las piezas.

   $$\Delta x=\frac{1}{n},x_k=\frac{k}{n},f(x)=\frac{1}{1+x^2}$$
4. 4

   Los límites: k va de 1 a n, así que x va de 0 a 1.

   $$x\in [0,1]$$
5. 5

   Escribe la integral y resuélvela.

   $${\int }_0^1\frac{dx}{1+x^2}={\left[\arctan x\right]}_0^1=\frac{\pi }{4}$$

Por tanto, el resultado de límite de una suma de riemann escrito como integral es π/4.

Resuelto y explicado por Daniel · sobre el autor

◆ Sobre esta integral

¿Por qué este método? El camino inverso: reconocer una suma como una integral. Dividiendo por n² aparece la forma Σf(k/n)·(1/n), que es la integral de f entre 0 y 1.

Error típico. No dividir por n² para sacar el 1/n (el Δx): sin él no se ve la suma de Riemann.

Más integrales de integral definida

$${\int }_1^3{x}^{3}dx$$

$${\int }_{-2}^2|x^2-1|dx$$

$${\int }_0^{\ln 2}{e}^x\sqrt{1+e^x}dx$$

$${\int }_0^4\frac{dx}{1+\sqrt{x}}$$

$${\int }_0^1\arctan xdx$$

$${\int }_0^1{x}^2{e}^{-x}dx$$

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