Integral resuelta paso a paso

Integral de 1/(x³ − 1)

Resolvemos ∫ 1/(x³ − 1) dx —la integral de 1/(x³ − 1)— paso a paso por fracciones parciales. Abajo tienes el procedimiento completo, el resultado.

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✎ Solución paso a paso

1. 1

   Diferencia de cubos.

   $$x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)$$
2. 2

   Parciales (segundo factor irreducible): A=1/3, Bx+C con B=-1/3, C=-2/3.

   $$\frac{1/3}{x-1}+\frac{Bx+C}{x^2+x+1}$$
3. 3

   Prepara el trozo irreducible y completa cuadrados.

   $$x^2+x+1={\left(x+\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{3}{4}$$
4. 4

   Integra: logaritmo mas arcotangente.

   $$=\frac{1}{3}\ln |x-1|-\frac{1}{6}\ln (x^2+x+1)-\frac{1}{\sqrt{3}}\arctan \frac{2x+1}{\sqrt{3}}+C$$

Por tanto, la integral de 1/(x³ − 1) es 1/3 ln|x − 1|-1/6 ln(x² + x + 1) − 1/√3 arctg(2x + 1)/√3 + C. Puedes comprobarlo derivando el resultado: su derivada vuelve a dar 1/(x³ − 1).

Resuelto y explicado por Daniel · sobre el autor

◆ Sobre las fracciones parciales

¿Por qué este método? Factoriza x³−1=(x−1)(x²+x+1): una raíz real y un cuadrático irreducible (completar cuadrados para el arcotangente).

Error típico. Olvidar el factor cuadrático x²+x+1 al factorizar la diferencia de cubos.

Teoría: Fracciones parciales →

Más integrales de fracciones parciales

$$\int \frac{dx}{x^3+8}$$

$$\int \frac{x^3+x+2}{x^4+2x^2+1}dx$$

$$\int \frac{x^2+1}{x^3-x^2+x-1}dx$$

$$\int \frac{x^2}{(x^2+1)(x^2+4)}dx$$

$$\int \frac{dx}{x^3+x}$$

$$\int \frac{2x^2+x+1}{x^3-x^2}dx$$

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