Integral resuelta paso a paso

Integral de x²/(x + 1)

Resolvemos ∫ x²/(x + 1) dx —la integral de x²/(x + 1)— paso a paso por fracciones parciales. Abajo tienes el procedimiento completo, el resultado.

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✎ Solución paso a paso

1. 1

   Mira los grados: arriba grado 2, abajo grado 1. Es una fraccion impropia, hay que dividir antes.

   $$\mathrm{deg}(x^2)\ge \mathrm{deg}(x+1)$$
2. 2

   Divide los polinomios: cociente x-1, resto 1.

   $$\frac{x^2}{x+1}=x-1+\frac{1}{x+1}$$
3. 3

   Separa e integra cada trozo.

   $$\int xdx-\int dx+\int \frac{dx}{x+1}$$
4. 4

   Las dos primeras son potencias; la tercera un logaritmo.

   $$=\frac{x^2}{2}-x+\ln |x+1|+C$$

Por tanto, la integral de x²/(x + 1) es x²/2 − x + ln|x + 1|+C. Puedes comprobarlo derivando el resultado: su derivada vuelve a dar x²/(x + 1).

Resuelto y explicado por Daniel · sobre el autor

◆ Sobre las fracciones parciales

¿Por qué este método? Grado 2 arriba y 1 abajo: primero división previa, que deja un polinomio más un resto sobre (x+1).

Error típico. Descomponer en parciales sin dividir antes: con numerador de mayor o igual grado, primero se divide.

Teoría: Fracciones parciales →

Más integrales de fracciones parciales

$$\int \frac{x^3}{x-2}dx$$

$$\int \frac{x^2+1}{x-1}dx$$

$$\int \frac{dx}{(x-1)(x+2)}$$

$$\int \frac{x+3}{x^2-x-6}dx$$

$$\int \frac{5x-4}{x^2-4}dx$$

$$\int \frac{dx}{x^2+5x+6}$$

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