Integral resuelta paso a paso

Integral de x²/√(x² + 1)

Resolvemos ∫ x²/√(x² + 1) dx —la integral de x²/√(x² + 1)— paso a paso . Abajo tienes el procedimiento completo, el resultado.

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✎ Solución paso a paso

1. 1

   Patrón √(a²+x²) con a=1.

   $$x=\mathrm{tg}\theta$$
2. 2

   Sustituye.

   $$\int \frac{{\mathrm{tg}}^2\theta {\sec }^2\theta }{\sec \theta }d\theta =\int {\mathrm{tg}}^2\theta \sec \theta d\theta$$
3. 3

   Convierte con la identidad tg²θ=sec²θ−1.

   $$\int ({\sec }^3\theta -\sec \theta )d\theta$$
4. 4

   Las dos son conocidas (cíclica y secante).

   $$\frac{1}{2}(\sec \theta \mathrm{tg}\theta +\ln |\sec \theta +\mathrm{tg}\theta |)-\ln |\sec \theta +\mathrm{tg}\theta |$$
5. 5

   Agrupa y vuelve con el triángulo.

   $$\frac{x\sqrt{x^2+1}}{2}-\frac{1}{2}\ln \left(x+\sqrt{x^2+1}\right)$$

Por tanto, la integral de x²/√(x² + 1) es (x√(x² + 1))/2 − 1/2 ln(x + √(x² + 1)) + C. Puedes comprobarlo derivando el resultado: su derivada vuelve a dar x²/√(x² + 1).

Resuelto y explicado por Daniel · sobre el autor

◆ Sobre esta integral

¿Por qué este método? √(a²+x²) con a=1: x=tg θ deja ∫tg²θ sec θ, que con tg²θ=sec²θ−1 se parte en la cíclica de sec³θ menos ∫sec θ.

Error típico. Olvidar restar la ∫sec θ tras aplicar tg²θ=sec²θ−1: hay dos integrales, no una.

Más integrales de sustitución trigonométrica

$$\int \sqrt{x^2+4}dx$$

$$\int \frac{\sqrt{x^2+25}}{x^4}dx$$

$$\int \frac{dx}{x^4\sqrt{1+x^2}}$$

$$\int \sqrt{x^2-9}dx$$

$$\int \frac{\sqrt{16-x^2}}{x}dx$$

$$\int \frac{\sqrt{1+x-x^2}}{x}dx$$

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