Integral resuelta paso a paso

Integral de √(x² + 25)/x⁴

Resolvemos ∫ √(x² + 25)/x⁴ dx —la integral de √(x² + 25)/x⁴— paso a paso . Abajo tienes el procedimiento completo, el resultado.

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✎ Solución paso a paso

1. 1

   Patrón √(a²+x²) con a=5.

   $$x=5\mathrm{tg}\theta ,\sqrt{x^2+25}=5\sec \theta$$
2. 2

   Sustituye.

   $$\int \frac{5\sec \theta \cdot 5{\sec }^2\theta }{625{\mathrm{tg}}^4\theta }d\theta =\frac{1}{25}\int \frac{{\sec }^3\theta }{{\mathrm{tg}}^4\theta }d\theta$$
3. 3

   Pasa a senos y cosenos.

   $$\frac{{\sec }^3\theta }{{\mathrm{tg}}^4\theta }=\frac{\cos \theta }{{\mathrm{sen}}^4\theta }$$
4. 4

   Cambio u=sen θ.

   $$\frac{1}{25}\int u^{-4}du=-\frac{1}{75u^3}$$
5. 5

   Vuelve con el triángulo (sen θ=x/√(x²+25)).

   $$-\frac{(x^2+25{)}^{3/2}}{75x^3}$$

Por tanto, la integral de √(x² + 25)/x⁴ es -((x² + 25)^(3/2))/(75x³) + C. Puedes comprobarlo derivando el resultado: su derivada vuelve a dar √(x² + 25)/x⁴.

Resuelto y explicado por Daniel · sobre el autor

◆ Sobre esta integral

¿Por qué este método? √(a²+x²) con a=5 y x⁴ abajo: tras el cambio, pasar a senos y cosenos deja cos θ/sen⁴θ, un cambio directo u=sen θ.

Error típico. Intentar integrar sec³θ/tg⁴θ en secantes y tangentes. En senos y cosenos es cos θ/sen⁴θ, inmediato con u=sen θ.

Más integrales de sustitución trigonométrica

$$\int \frac{x^2}{\sqrt{x^2+1}}dx$$

$$\int \frac{dx}{x^4\sqrt{1+x^2}}$$

$$\int \sqrt{x^2+4}dx$$

$$\int \sqrt{x^2-9}dx$$

$$\int \frac{\sqrt{16-x^2}}{x}dx$$

$$\int \frac{\sqrt{1+x-x^2}}{x}dx$$

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