Integral resuelta paso a paso

Integral de 1/(x² + 9)^(3/2)

Resolvemos ∫ 1/(x² + 9)^(3/2) dx —la integral de 1/(x² + 9)^(3/2)— paso a paso . Abajo tienes el procedimiento completo, el resultado.

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✎ Solución paso a paso

1. 1

   Patrón √(a²+x²) con a=3 (el exponente 3/2).

   $$x=3\mathrm{tg}\theta ,(x^2+9{)}^{3/2}=27{\sec }^3\theta$$
2. 2

   Sustituye.

   $$\int \frac{3{\sec }^2\theta }{27{\sec }^3\theta }d\theta =\frac{1}{9}\int \cos \theta d\theta$$
3. 3

   Integra.

   $$\frac{\mathrm{sen}\theta }{9}$$
4. 4

   Vuelve con el triángulo.

   $$\mathrm{sen}\theta =\frac{x}{\sqrt{x^2+9}}$$

Por tanto, la integral de 1/(x² + 9)^(3/2) es x/(9√(x² + 9)) + C. Puedes comprobarlo derivando el resultado: su derivada vuelve a dar 1/(x² + 9)^(3/2).

Resuelto y explicado por Daniel · sobre el autor

◆ Sobre esta integral

¿Por qué este método? Potencia 3/2 con a=3: x=3tg θ deja (x²+9)^{3/2}=27sec³θ, y la integral se simplifica a (1/9)∫cos θ.

Error típico. No simplificar sec²θ/sec³θ=cos θ: quedarse con secantes complica la integral que en realidad es un coseno.

Más integrales de sustitución trigonométrica

$$\int \frac{dx}{\sqrt{x^2+1}}$$

$$\int \frac{dx}{x\sqrt{x^2+16}}$$

$$\int \frac{\sqrt{9-x^2}}{x^2}dx$$

$$\int \frac{x^2}{\sqrt{4-x^2}}dx$$

$$\int \frac{dx}{x^2\sqrt{x^2+1}}$$

$$\int \frac{dx}{x\sqrt{9-x^2}}$$

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