Integral resuelta paso a paso

Integral de √(x² − 9)

Resolvemos ∫ √(x² − 9) dx —la integral de √(x² − 9)— paso a paso . Abajo tienes el procedimiento completo, el resultado.

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✎ Solución paso a paso

1. 1

   Patrón √(x²−a²) con a=3.

   $$x=3\sec \theta ,dx=3\sec \theta \mathrm{tg}\theta d\theta ,\sqrt{x^2-9}=3\mathrm{tg}\theta$$
2. 2

   Sustituye.

   $$\int 3\mathrm{tg}\theta \cdot 3\sec \theta \mathrm{tg}\theta d\theta =9\int {\mathrm{tg}}^2\theta \sec \theta d\theta$$
3. 3

   Convierte con tg²θ=sec²θ−1.

   $$9\int ({\sec }^3\theta -\sec \theta )d\theta$$
4. 4

   Integra las dos (cíclica y secante).

   $$9\left[\frac{\sec \theta \mathrm{tg}\theta }{2}-\frac{\ln |\sec \theta +\mathrm{tg}\theta |}{2}\right]$$
5. 5

   Agrupa y vuelve con el triángulo.

   $$\frac{x\sqrt{x^2-9}}{2}-\frac{9}{2}\ln \left|x+\sqrt{x^2-9}\right|$$

Por tanto, la integral de √(x² − 9) es (x√(x² − 9))/2 − 9/2 ln|x + √(x² − 9)|+C. Puedes comprobarlo derivando el resultado: su derivada vuelve a dar √(x² − 9).

Resuelto y explicado por Daniel · sobre el autor

◆ Sobre esta integral

¿Por qué este método? √(x²−a²) con a=3: x=3sec θ deja 9∫tg²θ sec θ, que con tg²θ=sec²θ−1 se parte en la cíclica de sec³θ menos ∫sec θ.

Error típico. Olvidar el segundo término (−∫sec θ) al usar tg²θ=sec²θ−1.

Más integrales de sustitución trigonométrica

$$\int \frac{dx}{x^4\sqrt{1+x^2}}$$

$$\int \frac{\sqrt{x^2+25}}{x^4}dx$$

$$\int \frac{x^2}{\sqrt{x^2+1}}dx$$

$$\int \sqrt{x^2+4}dx$$

$$\int \frac{\sqrt{1+x-x^2}}{x}dx$$

$$\int \frac{\sqrt{16-x^2}}{x}dx$$

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