Integral resuelta paso a paso

Integral de √(16 − x²)/x

Resolvemos ∫ √(16 − x²)/x dx —la integral de √(16 − x²)/x— paso a paso . Abajo tienes el procedimiento completo, el resultado.

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✎ Solución paso a paso

1. 1

   Patrón √(a²−x²) con a=4.

   $$x=4\mathrm{sen}\theta ,\sqrt{16-x^2}=4\cos \theta ,dx=4\cos \theta d\theta$$
2. 2

   Sustituye.

   $$\int \frac{4\cos \theta \cdot 4\cos \theta }{4\mathrm{sen}\theta }d\theta =4\int \frac{{\cos }^2\theta }{\mathrm{sen}\theta }d\theta$$
3. 3

   Convierte el numerador para poder separar.

   $${\cos }^2\theta =1-{\mathrm{sen}}^2\theta$$
4. 4

   Reparte en dos integrales.

   $$4\int (\csc \theta -\mathrm{sen}\theta )d\theta$$
5. 5

   Integra las dos.

   $$4\left[\ln \left|\mathrm{tg}\frac{\theta }{2}\right|+\cos \theta \right]$$
6. 6

   Vuelve con el triángulo.

   $$\cos \theta =\frac{\sqrt{16-x^2}}{4},\mathrm{tg}\frac{\theta }{2}=\frac{4-\sqrt{16-x^2}}{x}$$

Por tanto, la integral de √(16 − x²)/x es √(16 − x²) − 4 ln|(4 + √(16 − x²))/x|+C. Puedes comprobarlo derivando el resultado: su derivada vuelve a dar √(16 − x²)/x.

Resuelto y explicado por Daniel · sobre el autor

◆ Sobre esta integral

¿Por qué este método? √(a²−x²) con a=4 y una x en el denominador: tras el cambio aparece cos²θ/sen θ, que se separa en cosecante y seno usando cos²θ=1−sen²θ.

Error típico. No reescribir cos²θ=1−sen²θ: sin eso no puedes partir la fracción en dos integrales conocidas.

Más integrales de sustitución trigonométrica

$$\int \sqrt{x^2+4}dx$$

$$\int \frac{x^2}{\sqrt{x^2+1}}dx$$

$$\int \frac{\sqrt{x^2+25}}{x^4}dx$$

$$\int \frac{dx}{x^4\sqrt{1+x^2}}$$

$$\int \sqrt{x^2-9}dx$$

$$\int \frac{\sqrt{1+x-x^2}}{x}dx$$

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