Integral resuelta paso a paso

Integral de √(x² + 4)

Resolvemos ∫ √(x² + 4) dx —la integral de √(x² + 4)— paso a paso . Abajo tienes el procedimiento completo, el resultado.

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✎ Solución paso a paso

1. 1

   Patrón √(a²+x²) con a=2.

   $$x=2\mathrm{tg}\theta ,dx=2{\sec }^2\theta d\theta$$
2. 2

   Simplifica la raíz.

   $$\sqrt{4+4{\mathrm{tg}}^2\theta }=2\sec \theta$$
3. 3

   Sustituye.

   $$\int 2\sec \theta \cdot 2{\sec }^2\theta d\theta =4\int {\sec }^3\theta d\theta$$
4. 4

   Es la integral cíclica de la secante al cubo.

   $$\int {\sec }^3\theta d\theta =\frac{1}{2}(\sec \theta \mathrm{tg}\theta +\ln |\sec \theta +\mathrm{tg}\theta |)$$
5. 5

   Vuelve con el triángulo (sec θ=√(x²+4)/2, tg θ=x/2).

   $$\frac{x\sqrt{x^2+4}}{2}+2\ln \left(x+\sqrt{x^2+4}\right)$$

Por tanto, la integral de √(x² + 4) es (x√(x² + 4))/2 + 2 ln(x + √(x² + 4)) + C. Puedes comprobarlo derivando el resultado: su derivada vuelve a dar √(x² + 4).

Resuelto y explicado por Daniel · sobre el autor

◆ Sobre esta integral

¿Por qué este método? √(a²+x²) con a=2: x=2tg θ deja 4∫sec³θ, que es la integral cíclica de la secante. Después se vuelve a x con el triángulo.

Error típico. Tratar ∫sec³θ como inmediata. Es cíclica: se resuelve por partes y aparece ella misma en el otro lado.

Más integrales de sustitución trigonométrica

$$\int \frac{x^2}{\sqrt{x^2+1}}dx$$

$$\int \frac{\sqrt{x^2+25}}{x^4}dx$$

$$\int \frac{dx}{x^4\sqrt{1+x^2}}$$

$$\int \frac{\sqrt{16-x^2}}{x}dx$$

$$\int \sqrt{x^2-9}dx$$

$$\int \frac{\sqrt{1+x-x^2}}{x}dx$$

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