Integral resuelta paso a paso

Integral de √(1 + x − x²)/x

Resolvemos ∫ √(1 + x − x²)/x dx —la integral de √(1 + x − x²)/x— paso a paso . Abajo tienes el procedimiento completo, el resultado.

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✎ Solución paso a paso

1. 1

   Completa cuadrados.

   $$1+x-x^2=\frac{5}{4}-(x-\frac{1}{2}{)}^2$$
2. 2

   Cambio de seno con a=√5/2.

   $$x-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{5}}{2}\mathrm{sen}\theta$$
3. 3

   Al haber x en el denominador, separa el cociente (como en √(16−x²)/x).

   $$\text{cociente}\to \text{raıˊz}+\text{arcoseno}+\text{logaritmo}$$
4. 4

   Junta las tres piezas y vuelve a x.

   $$\sqrt{1+x-x^2}+\frac{1}{2}\arcsin \frac{2x-1}{\sqrt{5}}-\ln \left|\frac{2+x+2\sqrt{1+x-x^2}}{x}\right|$$

Por tanto, la integral de √(1 + x − x²)/x es √(1 + x − x²) + 1/2 arcsen(2x − 1)/√5 − ln|(2 + x + 2√(1 + x − x²))/x|+C. Puedes comprobarlo derivando el resultado: su derivada vuelve a dar √(1 + x − x²)/x.

Resuelto y explicado por Daniel · sobre el autor

◆ Sobre esta integral

¿Por qué este método? Es de las más largas: completar cuadrados da 5/4−(x−1/2)² (patrón seno), y la x del denominador obliga a separar el cociente, saliendo raíz, arcoseno y logaritmo.

Error típico. No completar cuadrados con el a correcto (√5/2), o no separar el cociente por la x del denominador.

Más integrales de sustitución trigonométrica

$$\int \sqrt{x^2-9}dx$$

$$\int \frac{dx}{x^4\sqrt{1+x^2}}$$

$$\int \frac{\sqrt{x^2+25}}{x^4}dx$$

$$\int \frac{x^2}{\sqrt{x^2+1}}dx$$

$$\int \sqrt{x^2+4}dx$$

$$\int \frac{\sqrt{16-x^2}}{x}dx$$

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