Integral resuelta paso a paso

Integral de 1/(x√(x² + 16))

Resolvemos ∫ 1/(x√(x² + 16)) dx —la integral de 1/(x√(x² + 16))— paso a paso . Abajo tienes el procedimiento completo, el resultado.

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✎ Solución paso a paso

1. 1

   Patrón √(a²+x²) con a=4.

   $$x=4\mathrm{tg}\theta ,\sqrt{x^2+16}=4\sec \theta$$
2. 2

   Sustituye.

   $$\int \frac{4{\sec }^2\theta }{4\mathrm{tg}\theta \cdot 4\sec \theta }d\theta =\frac{1}{4}\int \frac{\sec \theta }{\mathrm{tg}\theta }d\theta$$
3. 3

   Pasa a senos y cosenos para verlo claro.

   $$\frac{\sec \theta }{\mathrm{tg}\theta }=\frac{1}{\mathrm{sen}\theta }=\csc \theta$$
4. 4

   Integra la cosecante.

   $$\frac{1}{4}\ln \left|\mathrm{tg}\frac{\theta }{2}\right|$$
5. 5

   Vuelve con el triángulo.

   $$-\frac{1}{4}\ln \left|\frac{4+\sqrt{x^2+16}}{x}\right|$$

Por tanto, la integral de 1/(x√(x² + 16)) es -1/4 ln|(4 + √(x² + 16))/x|+C. Puedes comprobarlo derivando el resultado: su derivada vuelve a dar 1/(x√(x² + 16)).

Resuelto y explicado por Daniel · sobre el autor

◆ Sobre esta integral

¿Por qué este método? √(a²+x²) con a=4 y x en el denominador: tras el cambio queda sec θ/tg θ, que en senos y cosenos es la cosecante.

Error típico. No simplificar sec θ/tg θ=csc θ: en secantes y tangentes parece más difícil de lo que es.

Más integrales de sustitución trigonométrica

$$\int \frac{dx}{(x^2+9{)}^{3/2}}$$

$$\int \frac{dx}{x^2\sqrt{x^2+1}}$$

$$\int \frac{dx}{\sqrt{x^2+1}}$$

$$\int \frac{dx}{(4+x^2{)}^2}$$

$$\int \frac{\sqrt{9-x^2}}{x^2}dx$$

$$\int \frac{dx}{\sqrt{x^2-1}}$$

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