Integral resuelta paso a paso

Integral de 1/(x⁴√(1 + x²))

Resolvemos ∫ 1/(x⁴√(1 + x²)) dx —la integral de 1/(x⁴√(1 + x²))— paso a paso . Abajo tienes el procedimiento completo, el resultado.

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✎ Solución paso a paso

1. 1

   Patrón √(a²+x²) con a=1.

   $$x=\mathrm{tg}\theta$$
2. 2

   Sustituye y pasa a senos y cosenos.

   $$\int \frac{{\sec }^2\theta }{{\mathrm{tg}}^4\theta \sec \theta }d\theta =\int \frac{{\cos }^3\theta }{{\mathrm{sen}}^4\theta }d\theta$$
3. 3

   Coseno impar: separa uno.

   $${\cos }^3\theta =(1-{\mathrm{sen}}^2\theta )\cos \theta$$
4. 4

   Cambio u=sen θ.

   $$\int \frac{1-u^2}{u^4}du=-\frac{1}{3u^3}+\frac{1}{u}$$
5. 5

   Vuelve con el triángulo y simplifica.

   $$-\frac{(1+x^2{)}^{3/2}}{3x^3}$$

Por tanto, la integral de 1/(x⁴√(1 + x²)) es -((1 + x²)^(3/2))/(3x³) + C. Puedes comprobarlo derivando el resultado: su derivada vuelve a dar 1/(x⁴√(1 + x²)).

Resuelto y explicado por Daniel · sobre el autor

◆ Sobre esta integral

¿Por qué este método? √(a²+x²) con x⁴ abajo: en senos y cosenos queda cos³θ/sen⁴θ, con coseno impar (se separa uno) y cambio u=sen θ.

Error típico. No aprovechar que el coseno es impar tras pasar a senos y cosenos: hay que separar un cos θ para el du.

Más integrales de sustitución trigonométrica

$$\int \frac{\sqrt{x^2+25}}{x^4}dx$$

$$\int \sqrt{x^2-9}dx$$

$$\int \frac{x^2}{\sqrt{x^2+1}}dx$$

$$\int \sqrt{x^2+4}dx$$

$$\int \frac{\sqrt{16-x^2}}{x}dx$$

$$\int \frac{\sqrt{1+x-x^2}}{x}dx$$

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