Integral resuelta paso a paso

Integral de sen²x·cos³x

Resolvemos ∫ sen²x·cos³x dx —la integral de sen²x·cos³x— paso a paso con identidades trigonométricas. Abajo tienes el procedimiento completo, el resultado y la explicación en vídeo.

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✎ Solución paso a paso

1. 1

   Mira los dos exponentes: seno al 2 (par) y coseno al 3 (impar). Se separa del impar, o sea del coseno.

   $${\mathrm{sen}}^{2}x{\cos }^{3}x$$
2. 2

   Separa un coseno.

   $${\cos }^{3}x={\cos }^{2}x\cdot \cos x$$
3. 3

   Convierte lo que queda a senos.

   $$={\mathrm{sen}}^{2}x(1-{\mathrm{sen}}^{2}x)\cos x$$
4. 4

   Cambio u=sen x, du=cos x dx (aquí no hay signo menos: la derivada del seno es el coseno, limpia).

   $$\int u^2(1-u^2)du$$
5. 5

   Desarrolla.

   $$=\int (u^2-u^4)du$$
6. 6

   Integra.

   $$=\frac{u^3}{3}-\frac{u^5}{5}$$
7. 7

   Deshaz el cambio.

   $$\frac{{\mathrm{sen}}^{3}x}{3}-\frac{{\mathrm{sen}}^{5}x}{5}$$

Por tanto, la integral de sen²x·cos³x es (sen³ x)/3 − (sen⁵ x)/5 + C. Puedes comprobarlo derivando el resultado: su derivada vuelve a dar sen²x·cos³x.

Resuelto y explicado por Daniel · sobre el autor

◆ Sobre las integrales trigonométricas

¿Por qué este método? El coseno es el que tiene exponente impar (3), así que separas un cos x para el du y conviertes el resto, cos²x=1−sen²x. El cambio u=sen x sale sin signo menos.

Error típico. Separar del seno (que es par): te quedaría otro seno suelto y no avanzarías. Siempre se separa del factor con exponente impar.

Teoría: Trigonométricas →

▶ Explicación en vídeo

Te explico esta integral paso a paso en vídeo. Del canal de YouTube DVC Profe.

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