Integral resuelta paso a paso

Integral de sen³x·cos³x

Resolvemos ∫ sen³x·cos³x dx —la integral de sen³x·cos³x— paso a paso con identidades trigonométricas. Abajo tienes el procedimiento completo, el resultado.

---

✎ Solución paso a paso

1. 1

   Los dos exponentes son impares: puedes separar de cualquiera. Vamos con u=sen x, separando un coseno.

   $${\mathrm{sen}}^{3}x{\cos }^{3}x$$
2. 2

   Separa un coseno y convierte el resto a senos.

   $${\cos }^{3}x=(1-{\mathrm{sen}}^{2}x)\cos x$$
3. 3

   La integral queda con un coseno suelto para el du.

   $$\int {\mathrm{sen}}^{3}x(1-{\mathrm{sen}}^{2}x)\cos xdx$$
4. 4

   Cambio u=sen x, du=cos x dx.

   $$\int u^3(1-u^2)du=\int (u^3-u^5)du$$
5. 5

   Integra.

   $$=\frac{u^4}{4}-\frac{u^6}{6}$$
6. 6

   Deshaz el cambio.

   $$\frac{{\mathrm{sen}}^{4}x}{4}-\frac{{\mathrm{sen}}^{6}x}{6}$$

Por tanto, la integral de sen³x·cos³x es (sen⁴ x)/4 − (sen⁶ x)/6 + C. Puedes comprobarlo derivando el resultado: su derivada vuelve a dar sen³x·cos³x.

Resuelto y explicado por Daniel · sobre el autor

◆ Sobre las integrales trigonométricas

¿Por qué este método? Los dos exponentes son impares, así que puedes elegir de cuál separar. Eligiendo u=sen x separas un coseno; con u=cos x saldría otra forma equivalente (se diferencian en una constante).

Error típico. Creer que hay una única respuesta correcta: con u=cos x sale −cos⁴x/4+cos⁶x/6+C, que es la misma primitiva salvo constante.

Teoría: Trigonométricas →

Más integrales de trigonométricas

$$\int {\mathrm{sen}}^{2}x{\cos }^{3}xdx$$

$$\int \frac{{\cos }^{3}x}{\sqrt{\mathrm{sen}x}}dx$$

$$\int {\mathrm{sen}}^{5}xdx$$

$$\int {\mathrm{sen}}^{3}xdx$$

$$\int {\mathrm{sen}}^{4}xdx$$

$$\int {\cos }^{4}xdx$$

← Volver a trigonométricas