Integral resuelta paso a paso

Integral de sen(3x)·cos(5x)

Resolvemos ∫ sen(3x)·cos(5x) dx —la integral de sen(3x)·cos(5x)— paso a paso con identidades trigonométricas. Abajo tienes el procedimiento completo, el resultado.

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✎ Solución paso a paso

1. 1

   Los ángulos son distintos: no sirve nada de potencias. Hay que convertir el producto en suma con Werner.

   $$\mathrm{sen}A\cos B=\frac{1}{2}[\mathrm{sen}(A+B)+\mathrm{sen}(A-B)]$$
2. 2

   Aplica con A=3x, B=5x.

   $$\mathrm{sen}3x\cos 5x=\frac{1}{2}[\mathrm{sen}8x+\mathrm{sen}(-2x)]$$
3. 3

   El seno es impar: sen(−2x)=−sen 2x.

   $$=\frac{1}{2}[\mathrm{sen}8x-\mathrm{sen}2x]$$
4. 4

   Integra los dos, dividiendo por el ángulo.

   $$\frac{1}{2}\left(-\frac{\cos 8x}{8}+\frac{\cos 2x}{2}\right)$$

Por tanto, la integral de sen(3x)·cos(5x) es -(cos 8x)/16 + (cos 2x)/4 + C. Puedes comprobarlo derivando el resultado: su derivada vuelve a dar sen(3x)·cos(5x).

Resuelto y explicado por Daniel · sobre el autor

◆ Sobre las integrales trigonométricas

¿Por qué este método? Con ángulos distintos (3x y 5x) las identidades de potencias no valen: se usa la fórmula de Werner para convertir el producto en una suma de senos, que sí se integra término a término.

Error típico. Olvidar dividir por el ángulo al integrar (cos 8x → −cos 8x/8), o no aplicar que sen(−2x)=−sen 2x.

Teoría: Trigonométricas →

Más integrales de trigonométricas

$$\int \frac{1+\mathrm{tg}x}{1-\mathrm{tg}x}dx$$

$$\int \mathrm{sen}(2x)\mathrm{sen}(7x)dx$$

$$\int \frac{dx}{\mathrm{tg}x+\cot x}$$

$$\int \cos (4x)\cos (x)dx$$

$$\int \frac{{\mathrm{sen}}^{3}x}{{\cos }^{4}x}dx$$

$$\int \frac{dx}{{\mathrm{sen}}^{4}x}$$

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