Integral resuelta paso a paso

Integral de sen⁵x

Resolvemos ∫ sen⁵x dx —la integral de sen⁵x— paso a paso con identidades trigonométricas. Abajo tienes el procedimiento completo, el resultado.

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✎ Solución paso a paso

1. 1

   Exponente 5: impar. Separa un factor.

   $${\mathrm{sen}}^{5}x={\mathrm{sen}}^{4}x\cdot \mathrm{sen}x$$
2. 2

   Escribe sen⁴x como cuadrado de sen²x.

   $$=({\mathrm{sen}}^{2}x{)}^2\mathrm{sen}x$$
3. 3

   Convierte a cosenos con la identidad.

   $$=(1-{\cos }^{2}x{)}^2\mathrm{sen}x$$
4. 4

   Cambio u=cos x, sen x dx=−du.

   $$-\int (1-u^2{)}^{2}du$$
5. 5

   Desarrolla el cuadrado antes de integrar.

   $$(1-u^2{)}^2=1-2u^2+u^4$$
6. 6

   Integra término a término.

   $$-\left(u-\frac{2u^3}{3}+\frac{u^5}{5}\right)$$
7. 7

   Deshaz el cambio.

   $$-\cos x+\frac{2{\cos }^{3}x}{3}-\frac{{\cos }^{5}x}{5}$$

Por tanto, la integral de sen⁵x es - cos x + (2 cos³ x)/3 − (cos⁵ x)/5 + C. Puedes comprobarlo derivando el resultado: su derivada vuelve a dar sen⁵x.

Resuelto y explicado por Daniel · sobre el autor

◆ Sobre las integrales trigonométricas

¿Por qué este método? El seno está a la 5 (impar): separas un sen x para el du y el resto, sen⁴x=(1−cos²x)², pasa a cosenos. Queda un polinomio en u=cos x, inmediato de integrar.

Error típico. Olvidar desarrollar (1−u²)² antes de integrar: hay que elevar el binomio al cuadrado (1−2u²+u⁴), no integrarlo como si fuera una sola potencia.

Teoría: Trigonométricas →

Más integrales de trigonométricas

$$\int {\mathrm{sen}}^{3}xdx$$

$$\int {\mathrm{sen}}^{2}x{\cos }^{3}xdx$$

$$\int {\mathrm{sen}}^{3}x{\cos }^{3}xdx$$

$$\int \frac{{\cos }^{3}x}{\sqrt{\mathrm{sen}x}}dx$$

$$\int {\mathrm{sen}}^{4}xdx$$

$$\int {\cos }^{4}xdx$$

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