Integral resuelta paso a paso

Integral de sen(1/x)/x²

Resolvemos ∫ sen(1/x)/x² dx —la integral de sen(1/x)/x²— paso a paso por sustitución (cambio de variable). Abajo tienes el procedimiento completo, el resultado.

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✎ Solución paso a paso

1. 1

   El argumento del seno es 1/x, y fuera tenemos x^2 en el denominador. Hacemos u = 1/x.

   $$u=x^{-1}⟹du=-x^{-2}dx⟹-du=\frac{1}{x^2}dx$$
2. 2

   Al sustituir, los términos se acoplan perfectamente.

   $$\int \sin (u)(-du)=-\int \sin (u)du$$
3. 3

   La integral del seno es menos coseno.

   $$-(-\cos (u))=\cos (u)+C$$
4. 4

   Volvemos a x.

   $$\cos \left(\frac{1}{x}\right)+C$$

Por tanto, la integral de sen(1/x)/x² es cos(1/x) + C. Puedes comprobarlo derivando el resultado: su derivada vuelve a dar sen(1/x)/x².

Resuelto y explicado por Daniel · sobre el autor

◆ Sobre la sustitución (cambio de variable)

¿Por qué este método? El 1/x² de fuera es (salvo signo) el du de u=1/x: el seno de 1/x se integra directo.

Error típico. Olvidar el signo menos del du de 1/x.

Teoría: Cambio de variable →

Más integrales de sustitución

$$\int \frac{1}{\sqrt{x}(1+\sqrt{x}{)}^2}dx$$

$$\int \frac{\cos (1/x)}{x^2}dx$$

$$\int \frac{\sqrt{\arctan (x)}}{1+x^2}dx$$

$$\int (x+7{)}^{4}dx$$

$$\int \frac{dx}{(2x+3{)}^3}=\int (2x+3{)}^{-3}dx$$

$$\int 2x\sqrt{x^2+1}dx$$

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