Integral resuelta paso a paso

Integral de 1/(√x(1 + √x)²)

Resolvemos ∫ 1/(√x(1 + √x)²) dx —la integral de 1/(√x(1 + √x)²)— paso a paso por sustitución (cambio de variable). Abajo tienes el procedimiento completo, el resultado y la explicación en vídeo.

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✎ Solución paso a paso

1. 1

   La derivada de una raíz es proporcional a 1 dividido por esa raíz. Hacemos el cambio u = 1 + raíz de x.

   $$u=1+\sqrt{x}⟹du=\frac{1}{2\sqrt{x}}dx⟹2du=\frac{1}{\sqrt{x}}dx$$
2. 2

   Sustituimos en la integral.

   $$\int \frac{2}{u^2}du=2\int u^{-2}du$$
3. 3

   Resolvemos.

   $$2\frac{u^{-1}}{-1}=-\frac{2}{u}+C$$
4. 4

   Revertimos el cambio.

   $$-\frac{2}{1+\sqrt{x}}+C$$

Por tanto, la integral de 1/(√x(1 + √x)²) es -2/(1 + √x) + C. Puedes comprobarlo derivando el resultado: su derivada vuelve a dar 1/(√x(1 + √x)²).

Resuelto y explicado por Daniel · sobre el autor

◆ Sobre la sustitución (cambio de variable)

¿Por qué este método? El cambio u=1+√x racionaliza la expresión con la raíz.

Error típico. No recalcular el dx al cambiar de variable, o no deshacer el cambio al final.

Teoría: Cambio de variable →

▶ Explicación en vídeo

Te explico esta integral paso a paso en vídeo. Del canal de YouTube DVC Profe.

Ver en YouTube →

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$$\int \frac{\sin (1/x)}{x^2}dx$$

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