Integral resuelta paso a paso

Integral de √arctg(x)/(1 + x²)

Resolvemos ∫ √arctg(x)/(1 + x²) dx —la integral de √arctg(x)/(1 + x²)— paso a paso por sustitución (cambio de variable). Abajo tienes el procedimiento completo, el resultado y la explicación en vídeo.

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✎ Solución paso a paso

1. 1

   Vemos la derivada del arcotangente presente en la función.

   $$u=\arctan (x)⟹du=\frac{1}{1+x^2}dx$$
2. 2

   Reescribimos la integral que resulta ser muy sencilla.

   $$\int \sqrt{u}du=\int u^{1/2}du$$
3. 3

   Resolvemos y deshacemos el cambio.

   $$\frac{2}{3}{u}^{3/2}=\frac{2}{3}(\arctan (x){)}^{3/2}+C$$

Por tanto, la integral de √arctg(x)/(1 + x²) es 2/3 (arctg(x))^(3/2) + C. Puedes comprobarlo derivando el resultado: su derivada vuelve a dar √arctg(x)/(1 + x²).

Resuelto y explicado por Daniel · sobre el autor

◆ Sobre la sustitución (cambio de variable)

¿Por qué este método? El 1/(1+x²) de fuera es el du de u=arctan x: la raíz del arcotangente se integra directa.

Error típico. No reconocer 1/(1+x²) como la derivada de arctan x.

Teoría: Cambio de variable →

▶ Explicación en vídeo

Te explico esta integral paso a paso en vídeo. Del canal de YouTube DVC Profe.

Ver en YouTube →

Más integrales de sustitución

$$\int \frac{\cos (1/x)}{x^2}dx$$

$$\int \frac{\sin (1/x)}{x^2}dx$$

$$\int \frac{1}{\sqrt{x}(1+\sqrt{x}{)}^2}dx$$

$$\int (x+7{)}^{4}dx$$

$$\int \frac{dx}{(2x+3{)}^3}=\int (2x+3{)}^{-3}dx$$

$$\int 2x\sqrt{x^2+1}dx$$

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