Integral resuelta paso a paso

Integral de e^(2x)/√(e^x + 1)

Resolvemos ∫ e^(2x)/√(e^x + 1) dx —la integral de e^(2x)/√(e^x + 1)— paso a paso por sustitución (cambio de variable). Abajo tienes el procedimiento completo, el resultado.

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✎ Solución paso a paso

1. 1

   Separamos el numerador en e^x por e^x para facilitar el cambio.

   $$e^{2x}=e^x\cdot e^x$$
2. 2

   Hacemos u = e^x + 1, de donde despejamos también e^x.

   $$u=e^x+1⟹du=e^{x}dx\text{y}{e}^x=u-1$$
3. 3

   Sustituimos todo en términos de u.

   $$\int \frac{u-1}{\sqrt{u}}du=\int \left(u^{1/2}-u^{-1/2}\right)du$$
4. 4

   Integramos cada término y deshacemos el cambio.

   $$\frac{2}{3}{u}^{3/2}-2u^{1/2}=\frac{2}{3}(e^x+1{)}^{3/2}-2\sqrt{e^x+1}+C$$

Por tanto, la integral de e^(2x)/√(e^x + 1) es 2/3(e^x + 1)^(3/2) − 2√(e^x + 1) + C. Puedes comprobarlo derivando el resultado: su derivada vuelve a dar e^(2x)/√(e^x + 1).

Resuelto y explicado por Daniel · sobre el autor

◆ Sobre la sustitución (cambio de variable)

¿Por qué este método? Se separa e^{2x}=eˣ·eˣ para que uno haga de du de u=eˣ+1 y el otro entre en la fracción.

Error típico. No separar e^{2x} en eˣ·eˣ antes del cambio.

Teoría: Cambio de variable →

Más integrales de sustitución

$$\int \frac{dx}{x\sqrt{x^2-1}}$$

$$\int \frac{x^2+1}{x^4+1}dx$$

$$\int \frac{x^2-1}{x^4+1}dx$$

$$\int \frac{dx}{x(x^{10}+1)}$$

$$\int \frac{xdx}{\sqrt{1-x^4}}$$

$${\int }_0^1\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+\sqrt{1-x}}dx$$

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