Integral resuelta paso a paso

Integral de 1/√(x² − 1)

Resolvemos ∫ 1/√(x² − 1) dx —la integral de 1/√(x² − 1)— paso a paso . Abajo tienes el procedimiento completo, el resultado.

---

✎ Solución paso a paso

1. 1

   Patrón √(x²−a²) con a=1: cambio de secante.

   $$x=\sec \theta ,dx=\sec \theta \mathrm{tg}\theta d\theta$$
2. 2

   Simplifica la raíz.

   $$\sqrt{{\sec }^2\theta -1}=\mathrm{tg}\theta$$
3. 3

   Sustituye.

   $$\int \frac{\sec \theta \mathrm{tg}\theta }{\mathrm{tg}\theta }d\theta =\int \sec \theta d\theta$$
4. 4

   Integra.

   $$\ln |\sec \theta +\mathrm{tg}\theta |$$
5. 5

   Vuelve con el triángulo (sec θ=x).

   $$\ln \left|x+\sqrt{x^2-1}\right|$$

Por tanto, la integral de 1/√(x² − 1) es ln|x + √(x² − 1)|+C. Puedes comprobarlo derivando el resultado: su derivada vuelve a dar 1/√(x² − 1).

Resuelto y explicado por Daniel · sobre el autor

◆ Sobre esta integral

¿Por qué este método? Patrón √(x²−a²)→secante: x=sec θ hace que √(x²−1)=tg θ y la integral se reduce a ∫sec θ.

Error típico. Confundir el patrón con el del seno o la tangente. Cuando la raíz es √(x²−a²) (resta con x² delante) toca la secante.

Más integrales de sustitución trigonométrica

$$\int \frac{dx}{(4+x^2{)}^2}$$

$$\int \frac{\sqrt{x^2-4}}{x}dx$$

$$\int \frac{dx}{x^2\sqrt{x^2+1}}$$

$$\int \frac{dx}{x^3\sqrt{x^2-1}}$$

$$\int \frac{dx}{x\sqrt{x^2+16}}$$

$$\int \frac{dx}{(x^2-25{)}^{3/2}}$$

← Volver a sustitución trigonométrica