Integral resuelta paso a paso

Integral de √(x² − 4)/x

Resolvemos ∫ √(x² − 4)/x dx —la integral de √(x² − 4)/x— paso a paso . Abajo tienes el procedimiento completo, el resultado.

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✎ Solución paso a paso

1. 1

   Patrón √(x²−a²) con a=2.

   $$x=2\sec \theta ,\sqrt{x^2-4}=2\mathrm{tg}\theta$$
2. 2

   Sustituye.

   $$\int \frac{2\mathrm{tg}\theta \cdot 2\sec \theta \mathrm{tg}\theta }{2\sec \theta }d\theta =2\int {\mathrm{tg}}^2\theta d\theta$$
3. 3

   Usa la identidad tg²θ=sec²θ−1.

   $$2\int ({\sec }^2\theta -1)d\theta =2(\mathrm{tg}\theta -\theta )$$
4. 4

   Vuelve con el triángulo (tg θ=√(x²−4)/2, θ=arcsec(x/2)).

   $$\sqrt{x^2-4}-2\mathrm{arcsec}\frac{x}{2}$$

Por tanto, la integral de √(x² − 4)/x es √(x² − 4) − 2 arcsecx/2 + C. Puedes comprobarlo derivando el resultado: su derivada vuelve a dar √(x² − 4)/x.

Resuelto y explicado por Daniel · sobre el autor

◆ Sobre esta integral

¿Por qué este método? √(x²−a²) con a=2 y x en el denominador: el cambio deja 2∫tg²θ, que se integra con tg²θ=sec²θ−1.

Error típico. No usar tg²θ=sec²θ−1: la tangente al cuadrado no es directa de integrar.

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