Integral resuelta paso a paso

Integral de 1/√(x² + 1)

Resolvemos ∫ 1/√(x² + 1) dx —la integral de 1/√(x² + 1)— paso a paso . Abajo tienes el procedimiento completo, el resultado y la explicación en vídeo.

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✎ Solución paso a paso

1. 1

   Patrón √(a²+x²) con a=1: cambio de tangente.

   $$x=\mathrm{tg}\theta ,dx={\sec }^2\theta d\theta$$
2. 2

   Simplifica la raíz con la identidad.

   $$\sqrt{1+{\mathrm{tg}}^2\theta }=\sec \theta$$
3. 3

   Sustituye.

   $$\int \frac{{\sec }^2\theta }{\sec \theta }d\theta =\int \sec \theta d\theta$$
4. 4

   Aplica la primitiva de la secante.

   $$\ln |\sec \theta +\mathrm{tg}\theta |$$
5. 5

   Vuelve con el triángulo (sec θ=√(x²+1), tg θ=x).

   $$\ln \left(x+\sqrt{x^2+1}\right)$$

Por tanto, la integral de 1/√(x² + 1) es ln(x + √(x² + 1)) + C. Puedes comprobarlo derivando el resultado: su derivada vuelve a dar 1/√(x² + 1).

Resuelto y explicado por Daniel · sobre el autor

◆ Sobre esta integral

¿Por qué este método? Patrón √(a²+x²)→tangente: x=tg θ hace que √(1+x²)=sec θ y la integral se reduce a ∫sec θ. El resultado es arcsinh x, que conecta con las hiperbólicas.

Error típico. No recordar la primitiva de la secante (ln|sec θ+tg θ|). Es la pieza clave de este patrón.

▶ Explicación en vídeo

Te explico esta integral paso a paso en vídeo. Del canal de YouTube DVC Profe.

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