Integral resuelta paso a paso

Integral de 1/(x²√(x² + 1))

Resolvemos ∫ 1/(x²√(x² + 1)) dx —la integral de 1/(x²√(x² + 1))— paso a paso . Abajo tienes el procedimiento completo, el resultado.

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✎ Solución paso a paso

1. 1

   Patrón √(a²+x²) con a=1.

   $$x=\mathrm{tg}\theta$$
2. 2

   Sustituye.

   $$\int \frac{{\sec }^2\theta }{{\mathrm{tg}}^2\theta \sec \theta }d\theta =\int \frac{\sec \theta }{{\mathrm{tg}}^2\theta }d\theta$$
3. 3

   Pasa a senos y cosenos.

   $$=\int \frac{\cos \theta }{{\mathrm{sen}}^2\theta }d\theta$$
4. 4

   Cambio u=sen θ.

   $$-\frac{1}{\mathrm{sen}\theta }$$
5. 5

   Vuelve con el triángulo.

   $$-\frac{\sqrt{x^2+1}}{x}$$

Por tanto, la integral de 1/(x²√(x² + 1)) es -√(x² + 1)/x + C. Puedes comprobarlo derivando el resultado: su derivada vuelve a dar 1/(x²√(x² + 1)).

Resuelto y explicado por Daniel · sobre el autor

◆ Sobre esta integral

¿Por qué este método? √(a²+x²) con a=1 y x² abajo: en senos y cosenos la integral es cos θ/sen²θ, un cambio directo u=sen θ.

Error típico. Quedarse en secantes y tangentes. Pasar a senos y cosenos revela el cambio inmediato.

Más integrales de sustitución trigonométrica

$$\int \frac{dx}{x\sqrt{x^2+16}}$$

$$\int \frac{dx}{(4+x^2{)}^2}$$

$$\int \frac{dx}{\sqrt{x^2-1}}$$

$$\int \frac{dx}{(x^2+9{)}^{3/2}}$$

$$\int \frac{\sqrt{x^2-4}}{x}dx$$

$$\int \frac{dx}{\sqrt{x^2+1}}$$

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