Integral resuelta paso a paso

Integral de √((x − 1)/(x + 1))

Resolvemos ∫ √((x − 1)/(x + 1)) dx —la integral de √((x − 1)/(x + 1))— paso a paso . Abajo tienes el procedimiento completo, el resultado.

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✎ Solución paso a paso

1. 1

   Atajo: multiplica dentro de la raíz por (x−1) para racionalizar.

   $$\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}=\frac{x-1}{\sqrt{x^2-1}}$$
2. 2

   Reparte el cociente.

   $$\frac{x-1}{\sqrt{x^2-1}}=\frac{x}{\sqrt{x^2-1}}-\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}$$
3. 3

   La primera con u=x²−1; la segunda es el logaritmo de la secante.

   $$\sqrt{x^2-1}-\ln |x+\sqrt{x^2-1}|$$

Por tanto, la integral de √((x − 1)/(x + 1)) es √(x² − 1) − ln|x + √(x² − 1)|+C. Puedes comprobarlo derivando el resultado: su derivada vuelve a dar √((x − 1)/(x + 1)).

Resuelto y explicado por Daniel · sobre el autor

◆ Sobre esta integral

¿Por qué este método? En vez del cambio t²=cociente (largo), racionalizar multiplicando por (x−1) deja (x−1)/√(x²−1), que se parte en dos integrales conocidas. Cuatro líneas frente a veinte.

Error típico. Montar el cambio t²=(x−1)/(x+1) directamente: sale, pero es mucho más largo que racionalizar primero.

Más integrales de racionalización

$$\int \frac{dx}{\sqrt{x}+x^{3/4}}$$

$$\int \frac{dx}{\sqrt[4]{x}+\sqrt{x}}$$

$$\int \frac{dx}{\sqrt{x+1}-\sqrt[3]{x+1}}$$

$$\int \frac{\sqrt[3]{x}}{1+\sqrt{x}}dx$$

$$\int \sqrt{\frac{1+x}{1-x}}dx$$

$$\int \frac{dx}{\sqrt{x}+\sqrt[3]{x}}$$

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