Integral resuelta paso a paso

Integral de 1/(√x + x^(3/4))

Resolvemos ∫ 1/(√x + x^(3/4)) dx —la integral de 1/(√x + x^(3/4))— paso a paso . Abajo tienes el procedimiento completo, el resultado.

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✎ Solución paso a paso

1. 1

   Exponentes 1/2 y 3/4: denominadores 2 y 4, mcm 4.

   $$\mathrm{mcm}(2,4)=4$$
2. 2

   Cambio x=t⁴.

   $$\sqrt{x}=t^2,x^{3/4}=t^3$$
3. 3

   Sustituye y simplifica.

   $$\int \frac{4t^3}{t^2+t^3}dt=4\int \frac{t}{1+t}dt$$
4. 4

   Divide.

   $$\frac{t}{1+t}=1-\frac{1}{1+t}$$
5. 5

   Integra.

   $$4(t-\ln |1+t|)$$

Por tanto, la integral de 1/(√x + x^(3/4)) es 4∜x − 4 ln(1+∜x) + C. Puedes comprobarlo derivando el resultado: su derivada vuelve a dar 1/(√x + x^(3/4)).

Resuelto y explicado por Daniel · sobre el autor

◆ Sobre esta integral

¿Por qué este método? Los exponentes fraccionarios 1/2 y 3/4 tienen denominadores 2 y 4: x=t⁴ los vuelve enteros y la integral se hace racional.

Error típico. Mirar los numeradores en vez de los denominadores de los exponentes: el mcm se toma de los denominadores.

Más integrales de racionalización

$$\int \frac{dx}{\sqrt[4]{x}+\sqrt{x}}$$

$$\int \frac{\sqrt[3]{x}}{1+\sqrt{x}}dx$$

$$\int \sqrt{\frac{x-1}{x+1}}dx$$

$$\int \frac{dx}{\sqrt{x}+\sqrt[3]{x}}$$

$$\int \frac{dx}{\sqrt{x+1}-\sqrt[3]{x+1}}$$

$$\int \sqrt{\frac{1+x}{1-x}}dx$$

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