Integral resuelta paso a paso

Integral de √((1 + x)/(1 − x))

Resolvemos ∫ √((1 + x)/(1 − x)) dx —la integral de √((1 + x)/(1 − x))— paso a paso . Abajo tienes el procedimiento completo, el resultado.

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✎ Solución paso a paso

1. 1

   Antes de montar el cambio, prueba a racionalizar: multiplica dentro por (1+x).

   $$\sqrt{\frac{1+x}{1-x}}=\frac{1+x}{\sqrt{1-x^2}}$$
2. 2

   Reparte la fracción.

   $$\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}+\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}$$
3. 3

   La primera es un arcoseno inmediato.

   $$\arcsin x$$
4. 4

   La segunda, cambio u=1−x².

   $$-\sqrt{1-x^2}$$

Por tanto, la integral de √((1 + x)/(1 − x)) es arcsen x − √(1 − x²) + C. Puedes comprobarlo derivando el resultado: su derivada vuelve a dar √((1 + x)/(1 − x)).

Resuelto y explicado por Daniel · sobre el autor

◆ Sobre esta integral

¿Por qué este método? Racionalizar multiplicando por (1+x) deja (1+x)/√(1−x²), que se parte en un arcoseno y un cambio directo. Cuatro líneas frente a veinte con t²=cociente.

Error típico. Montar el cambio t²=(1+x)/(1−x): sale, pero es mucho más largo. Racionalizar primero es la vía corta.

Más integrales de racionalización

$$\int \frac{dx}{\sqrt{x+1}-\sqrt[3]{x+1}}$$

$$\int \sqrt{\frac{x-1}{x+1}}dx$$

$$\int \frac{dx}{\sqrt{x}+x^{3/4}}$$

$$\int \frac{dx}{\sqrt[4]{x}+\sqrt{x}}$$

$$\int \frac{\sqrt[3]{x}}{1+\sqrt{x}}dx$$

$$\int \frac{dx}{\sqrt{x}+\sqrt[3]{x}}$$

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