Integral resuelta paso a paso

Integral de 1/(√x + ∛x)

Resolvemos ∫ 1/(√x + ∛x) dx —la integral de 1/(√x + ∛x)— paso a paso . Abajo tienes el procedimiento completo, el resultado y la explicación en vídeo.

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✎ Solución paso a paso

1. 1

   Índices 2 y 3: su mínimo común múltiplo es 6.

   $$\mathrm{mcm}(2,3)=6$$
2. 2

   Cambio x=t⁶.

   $$dx=6t^{5}dt,\sqrt{x}=t^3,\sqrt[3]{x}=t^2$$
3. 3

   Sustituye.

   $$\int \frac{6t^{5}dt}{t^3+t^2}$$
4. 4

   Saca factor común abajo y simplifica.

   $$\frac{6t^5}{t^2(t+1)}=\frac{6t^3}{t+1}$$
5. 5

   Ya es racional impropia: divide.

   $$\frac{t^3}{t+1}=t^2-t+1-\frac{1}{t+1}$$
6. 6

   Integra los cuatro términos.

   $$6\left(\frac{t^3}{3}-\frac{t^2}{2}+t-\ln |t+1|\right)$$
7. 7

   Deshaz el cambio con t=⁶√x.

   $$2\sqrt{x}-3\sqrt[3]{x}+6\sqrt[6]{x}-6\ln (\sqrt[6]{x}+1)$$

Por tanto, la integral de 1/(√x + ∛x) es 2√x − 3∛x + 6ⁿ√x − 6 ln(ⁿ√x + 1) + C. Puedes comprobarlo derivando el resultado: su derivada vuelve a dar 1/(√x + ∛x).

Resuelto y explicado por Daniel · sobre el autor

◆ Sobre esta integral

¿Por qué este método? Con raíces de distinto índice se cambia x=t^{mcm}: todas las raíces se vuelven potencias enteras de t y la integral pasa a ser racional (división + logaritmo).

Error típico. Elegir un exponente que no sea el mcm de los índices: si no, alguna raíz sigue sin ser entera y no se racionaliza.

▶ Explicación en vídeo

Te explico esta integral paso a paso en vídeo. Del canal de YouTube DVC Profe.

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$$\int \frac{\sqrt[3]{x}}{1+\sqrt{x}}dx$$

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