Integral resuelta paso a paso

Integral de (1/x)√((1 − x)/(1 + x))

Resolvemos ∫ (1/x)√((1 − x)/(1 + x)) dx —la integral de (1/x)√((1 − x)/(1 + x))— paso a paso . Abajo tienes el procedimiento completo, el resultado.

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✎ Solución paso a paso

1. 1

   Cuando la raíz envuelve un cociente, iguala el cociente a t².

   $$t^2=\frac{1-x}{1+x}$$
2. 2

   Despeja x.

   $$x=\frac{1-t^2}{1+t^2}$$
3. 3

   Halla dx derivando.

   $$dx=\frac{-4t}{(1+t^2{)}^2}dt$$
4. 4

   Sustituye: sale una racional en t.

   $$\int (\dots )dt$$
5. 5

   Fracciones parciales (un trozo logarítmico y otro arcotangente).

   $$\ln \left|\frac{1-t}{1+t}\right|+2\arctan t$$

Por tanto, la integral de (1/x)√((1 − x)/(1 + x)) es ln|(1 − t)/(1 + t)|+2 arctg t + C, t=√((1 − x)/(1 + x)). Puedes comprobarlo derivando el resultado: su derivada vuelve a dar (1/x)√((1 − x)/(1 + x)).

Resuelto y explicado por Daniel · sobre el autor

◆ Sobre esta integral

¿Por qué este método? Con una raíz de un cociente y una x fuera, el cambio t²=cociente convierte todo en una función racional de t que se resuelve por parciales.

Error típico. Olvidar recalcular dx al despejar x en función de t, o no deshacer el cambio al final.

Más integrales de racionalización

$$\int \frac{\sqrt{x+1}}{\sqrt[3]{x+1}+1}dx$$

$$\int \frac{\sqrt[3]{1+\sqrt[4]{x}}}{\sqrt{x}}dx$$

$$\int \frac{dx}{x+\sqrt{x^2+x+1}}$$

$$\int \sqrt{\frac{x-1}{x+1}}dx$$

$$\int \frac{dx}{\sqrt{x+1}-\sqrt[3]{x+1}}$$

$$\int \frac{dx}{\sqrt{x}+x^{3/4}}$$

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