Integral resuelta paso a paso

Integral de ∛x/(1 + √x)

Resolvemos ∫ ∛x/(1 + √x) dx —la integral de ∛x/(1 + √x)— paso a paso . Abajo tienes el procedimiento completo, el resultado.

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✎ Solución paso a paso

1. 1

   mcm(2,3)=6: cambio x=t⁶.

   $$dx=6t^{5}dt,\sqrt[3]{x}=t^2,\sqrt{x}=t^3$$
2. 2

   Sustituye.

   $$\int \frac{t^2\cdot 6t^5}{1+t^3}dt=6\int \frac{t^7}{1+t^3}dt$$
3. 3

   Impropia: divide t⁷ entre t³+1.

   $$\frac{t^7}{t^3+1}=t^4-t+\frac{t}{t^3+1}$$
4. 4

   El resto se abre en parciales con t³+1=(t+1)(t²−t+1).

   $$t^3+1=(t+1)(t^2-t+1)$$
5. 5

   Integra todo y deshaz con t=⁶√x.

   $$6\left[\frac{t^5}{5}-\frac{t^2}{2}+\frac{1}{3}\ln |1+t^3|\right]$$

Por tanto, la integral de ∛x/(1 + √x) es 6[t⁵/5 − t²/2 + 1/3 ln|1 + t³|]+C, t=ⁿ√x. Puedes comprobarlo derivando el resultado: su derivada vuelve a dar ∛x/(1 + √x).

Resuelto y explicado por Daniel · sobre el autor

◆ Sobre esta integral

¿Por qué este método? Cambio x=t⁶ (mcm de 2 y 3): las raíces se vuelven potencias enteras y queda una racional impropia que se divide y se abre en parciales.

Error típico. No dividir la fracción impropia antes de las parciales, o factorizar mal t³+1.

Más integrales de racionalización

$$\int \frac{dx}{\sqrt{x}+\sqrt[3]{x}}$$

$$\int \frac{dx}{\sqrt[4]{x}+\sqrt{x}}$$

$$\int \frac{dx}{\sqrt{x}+x^{3/4}}$$

$$\int \sqrt{\frac{x-1}{x+1}}dx$$

$$\int \frac{dx}{\sqrt{x+1}-\sqrt[3]{x+1}}$$

$$\int \sqrt{\frac{1+x}{1-x}}dx$$

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