Integral resuelta paso a paso

Integral de 1/(√(x + 1)−∛(x + 1))

Resolvemos ∫ 1/(√(x + 1)−∛(x + 1)) dx —la integral de 1/(√(x + 1)−∛(x + 1))— paso a paso . Abajo tienes el procedimiento completo, el resultado.

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✎ Solución paso a paso

1. 1

   Raíces de (x+1): cambio x+1=t⁶.

   $$x+1=t^6$$
2. 2

   Sustituye.

   $$\int \frac{6t^5}{t^3-t^2}dt=6\int \frac{t^3}{t-1}dt$$
3. 3

   Divide.

   $$\frac{t^3}{t-1}=t^2+t+1+\frac{1}{t-1}$$
4. 4

   Integra y deshaz.

   $$6\left(\frac{t^3}{3}+\frac{t^2}{2}+t+\ln |t-1|\right)$$

Por tanto, la integral de 1/(√(x + 1)−∛(x + 1)) es 2√(x + 1) + 3∛(x + 1) + 6ⁿ√(x + 1) + 6 ln|ⁿ√(x + 1) − 1|+C. Puedes comprobarlo derivando el resultado: su derivada vuelve a dar 1/(√(x + 1)−∛(x + 1)).

Resuelto y explicado por Daniel · sobre el autor

◆ Sobre esta integral

¿Por qué este método? Raíces de (x+1) de índices 2 y 3: cambio x+1=t⁶, y tras simplificar queda una racional impropia que se divide.

Error típico. No simplificar 6t⁵/(t³−t²)=6t³/(t−1) antes de dividir.

Más integrales de racionalización

$$\int \sqrt{\frac{1+x}{1-x}}dx$$

$$\int \sqrt{\frac{x-1}{x+1}}dx$$

$$\int \frac{dx}{\sqrt{x}+x^{3/4}}$$

$$\int \frac{dx}{\sqrt[4]{x}+\sqrt{x}}$$

$$\int \frac{\sqrt[3]{x}}{1+\sqrt{x}}dx$$

$$\int \frac{dx}{\sqrt{x}+\sqrt[3]{x}}$$

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