Integral resuelta paso a paso

Integral de ∛(1+∜x)/√x

Resolvemos ∫ ∛(1+∜x)/√x dx —la integral de ∛(1+∜x)/√x— paso a paso . Abajo tienes el procedimiento completo, el resultado y la explicación en vídeo.

---

✎ Solución paso a paso

1. 1

   Primer cambio para quitar las raíces de x: x=t⁴.

   $$dx=4t^{3}dt,\sqrt{x}=t^2,x^{1/4}=t$$
2. 2

   Sustituye.

   $$\int \frac{\sqrt[3]{1+t}\cdot 4t^3}{t^2}dt=4\int t\sqrt[3]{1+t}dt$$
3. 3

   Queda una t suelta. Segundo cambio u=1+t, t=u−1.

   $$4\int (u-1)u^{1/3}du=4\int (u^{4/3}-u^{1/3})du$$
4. 4

   Integra.

   $$4\left(\frac{3u^{7/3}}{7}-\frac{3u^{4/3}}{4}\right)$$
5. 5

   Deshaz los dos cambios (u=1+⁴√x).

   $$\frac{12}{7}(1+\sqrt[4]{x}{)}^{7/3}-3(1+\sqrt[4]{x}{)}^{4/3}$$

Por tanto, la integral de ∛(1+∜x)/√x es 12/7(1+∜x)^(7/3) − 3(1+∜x)^(4/3) + C. Puedes comprobarlo derivando el resultado: su derivada vuelve a dar ∛(1+∜x)/√x.

Resuelto y explicado por Daniel · sobre el autor

◆ Sobre esta integral

¿Por qué este método? Nivel alto: un primer cambio x=t⁴ quita las raíces de x, y un segundo u=1+t absorbe la raíz cúbica del binomio. Dos cambios encadenados.

Error típico. Intentarlo con un solo cambio: la raíz cúbica de (1+⁴√x) necesita su propio cambio u=1+t.

▶ Explicación en vídeo

Te explico esta integral paso a paso en vídeo. Del canal de YouTube DVC Profe.

Ver en YouTube →

Más integrales de racionalización

$$\int \frac{1}{x}\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}dx$$

$$\int \frac{\sqrt{x+1}}{\sqrt[3]{x+1}+1}dx$$

$$\int \frac{dx}{x+\sqrt{x^2+x+1}}$$

$$\int \frac{dx}{\sqrt{x}+x^{3/4}}$$

$$\int \sqrt{\frac{x-1}{x+1}}dx$$

$$\int \frac{dx}{\sqrt[4]{x}+\sqrt{x}}$$

← Volver a racionalización